Calcule a integral dupla.
integral duplapi 11+x+y d A, R=[1,3] times[1,2]

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla da função
f(x,y)=11+x+y
sobre o retângulo
R = [1,3]times[1,2].
O conteúdo envolvido é integral iterada em coordenadas cartesianas, e vamos integrar primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Escrevemos a integral iterada:
I ;=;integral duplaR11+x+y,dA ;=;integralx=1^3integraly=1^211+x+y,dy,dx

Passo 3

Para integrar em y, reconhecemos a primitiva em y:
integral 11+x+y,dy =lnl(1+x+yr)+C
Logo, avaliando de y=1 até y=2,
integral1^211+x+y,dy =ln(x+3)-ln(x+2) =ln!l(x+3x+2r)

Passo 4

Substituindo na integral em x,
I =integral1^3ln!l(x+3x+2r),dx =integral1^3l[ln(x+3)-ln(x+2)r],dx

Passo 5

Usamos a primitiva
integral ln(x+a),dx =(x+a)ln(x+a)-(x+a)+C
Então
integral1^3ln(x+3),dx =l[(x+3)ln(x+3)-(x+3)r]1^3,
integral1^3ln(x+2),dx =l[(x+2)ln(x+2)-(x+2)r]1^3

Passo 6

Calculando cada termo:
integral1^3ln(x+3),dx =[6ln6-6] - [4ln4-4] =6ln6-4ln4-2,
integral1^3ln(x+2),dx =[5ln5-5] - [3ln3-3] =5ln5-3ln3-2
Subtraindo-os:
I =(6ln6-4ln4-2);-;(5ln5-3ln3-2) =6ln6-5ln5+3ln3-4ln4
Como 6ln6=6(ln2+ln3) e 4ln4=8ln2, simplifica para
I =-2ln2+9ln3-5ln5

Resposta

boxed-2ln2 ;+;9ln3 ;-;5ln5

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