Considere o campo vetorial F(x, y, z)=(2 x y, x^2+2 y z, y^2+3 z^2)
(a) [1 Ponto] Determine todas as funções potenciais de F.
(b) [1 / 2 Ponto ] Determine a função potencial de F que se anula no ponto ( 0,0,1 ).
(c) [1 / 2 Ponto ] Calcule integralC F cdot d r onde C é um percurso que vai da origem até o ponto ( 1,1,0 ).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y,z) = l(2xy,;x^2+2yz,;y^2+3z^2r)
e pede: (a) todas as funções potenciais de F, (b) a que vale zero em (0,0,1) e (c) a integral de linha de F de (0,0,0) a (1,1,0).
O conteúdo envolvido é: detectar que F é conservativo, achar uma função phi tal que nablaphi=F (potencial) e usar o Teorema Fundamental das Gerais para avaliar integralCFcdot dr=phi(fim)-phi(início)í.

Passo 2

Verificamos que F é conservativo em R^3 pois suas derivadas parciais são contínuas e
nablatimesF =l(partialpartial y(y^2+3z^2)-partialpartial z(x^2+2yz),dotsr) =(2y-2y,;0,;0)=0

Passo 3

Começamos a achar phi integrando
partialphipartial x=2xy
em relação a x, tratando y,z como constantes. Obtemos
phi(x,y,z)=x^2y+g(y,z),
onde g é uma “constante” de integração que pode depender de y,z.

Passo 4

Calculamos agora
partialphipartial y =partialpartial yl(x^2y+g(y,z)r) =x^2+partial gpartial y
e igualamos ao segundo componente de F, que é x^2+2yz. Logo
partial gpartial y=2yz
e integrando em y (com z fixo) vem
g(y,z)=y^2z+h(z),
onde h é função apenas de z.

Passo 5

Por fim, impomos
partialphipartial z =partialpartial zl(x^2y+y^2z+h(z)r) =y^2+h'(z)
que deve ser igual a y^2+3z^2. Daí
h'(z)=3z^2,
e integrando em z resulta
h(z)=z^3+C,
com C constante real. Assim concluímos que a família de potenciais é
phi(x,y,z) =x^2y+y^2z+z^3+C

Passo 6

Para a parte (b) exigem que phi(0,0,1)=0. Substituindo na expressão geral:
phi(0,0,1)=0+0+1^3+C=1+C=0 Longrightarrow C=-1
Logo o potencial que zera em (0,0,1) é
phi(x,y,z)=x^2y+y^2z+z^3-1

Passo 7

Para (c) usamos o Teorema Fundamental:
integralCFcdot dr =phi(1,1,0)-phi(0,0,0)
Na forma geral (o C cai ao fazer a diferença) temos
phi(1,1,0)=1^2cdot1+1^2cdot0+0^3+C=1+C
e
phi(0,0,0)=0+0+0+C=C.
Logo
integralCFcdot dr =(1+C)-C=1

Resposta

(a) phi(x,y,z)=x^2y+y^2z+z^3+C,;CinR
(b) phi(x,y,z)=x^2y+y^2z+z^3-1
(c) integralCFcdot dr=1

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