Considere o campo vetorial
(a) [1 Ponto] Determine todas as funções potenciais de .
(b) Ponto Determine a função potencial de que se anula no ponto ( ).
(c) Ponto Calcule onde é um percurso que vai da origem até o ponto ( ).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial

e pede: (a) todas as funções potenciais de , (b) a que vale zero em e (c) a integral de linha de de a .
O conteúdo envolvido é: detectar que é conservativo, achar uma função tal que (potencial) e usar o Teorema Fundamental das Gerais para avaliar í.

Passo 2

Verificamos que é conservativo em pois suas derivadas parciais são contínuas e

Passo 3

Começamos a achar integrando
em relação a , tratando como constantes. Obtemos
onde é uma “constante” de integração que pode depender de .

Passo 4

Calculamos agora
e igualamos ao segundo componente de , que é . Logo
e integrando em (com fixo) vem
onde é função apenas de .

Passo 5

Por fim, impomos
que deve ser igual a . Daí
e integrando em resulta
com constante real. Assim concluímos que a família de potenciais é

Passo 6

Para a parte (b) exigem que . Substituindo na expressão geral:
Logo o potencial que zera em é

Passo 7

Para (c) usamos o Teorema Fundamental:
Na forma geral (o cai ao fazer a diferença) temos

e
.
Logo

Resposta

(a)
(b)
(c)

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