Considere o campo vetorial
(a) [1 Ponto] Determine todas as funções potenciais de
.
(b)
Ponto
Determine a função potencial de
que se anula no ponto (
).
(c)
Ponto
Calcule
onde
é um percurso que vai da origem até o ponto (
).
(a) [1 Ponto] Determine todas as funções potenciais de
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede: (a) todas as funções potenciais de , (b) a que vale zero em
e (c) a integral de linha de
de
a
.
O conteúdo envolvido é: detectar que é conservativo, achar uma função
tal que
(potencial) e usar o Teorema Fundamental das Gerais para avaliar
.
e pede: (a) todas as funções potenciais de
O conteúdo envolvido é: detectar que
Passo 2
Verificamos que
é conservativo em
pois suas derivadas parciais são contínuas e
Passo 3
Começamos a achar
integrando
em relação a
, tratando
como constantes. Obtemos
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 4
Calculamos agora
e igualamos ao segundo componente de
, que é
. Logo
e integrando em
(com
fixo) vem
onde
é função apenas de
.
Passo 5
Por fim, impomos
que deve ser igual a
. Daí
e integrando em
resulta
com
constante real. Assim concluímos que a família de potenciais é
Passo 6
Para a parte (b) exigem que
. Substituindo na expressão geral:
Logo o potencial que zera em
é
Passo 7
Para (c) usamos o Teorema Fundamental:
Na forma geral (o
cai ao fazer a diferença) temos
e
.
Logo
e
Logo
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)