[4] (2,0 pontos) Seja o operador T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} dado por
T(x, y)=(3 x+3 y, x+5 y)
Determine os autovetores e uma base para o auto-espaço.

Passo 1

O enunciado define o operador linear T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 dado por
T(x,y) = (3x+3y,\;x+5y).
O objetivo é encontrar os autovalores \lambda, os autovetores associados e, consequentemente, uma base para cada autoespaço \ker(T - \lambda I). Para isso, vamos representar T por sua matriz na base canônica e usar a condição
\det(A - \lambda I)=0
para achar os autovalores, depois resolver (A - \lambda I)v=0 para cada \lambda.

Passo 2

Na base canônica, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix}3 & 3 \\\\ 1 & 5\end{pmatrix}.
O polinômio característico vem de
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}3-\lambda & 3 \\\\ 1 & 5-\lambda\end{pmatrix} = (3-\lambda)(5-\lambda) - 3\cdot1.

Passo 3

Expandindo o determinante:
(3-\lambda)(5-\lambda) - 3 = 15 - 8\lambda + \lambda^2 - 3 = \lambda^2 - 8\lambda + 12.
Assim, o polinômio característico é
p(\lambda)=\lambda^2 - 8\lambda + 12.

Passo 4

Para achar as raízes de p(\lambda)=0, resolvemos
\lambda^2 - 8\lambda + 12 = 0.
Fatorando, temos
(\lambda - 2)(\lambda - 6)=0,
logo os autovalores são \lambda_1=2 e \lambda_2=6.

Passo 5

Agora determinamos os autovetores resolvendo (A-\lambda I)v=0 para cada \lambda.
Para \lambda_1=2:
A - 2I = \begin{pmatrix}3-2 & 3 \\\\ 1 & 5-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 1 & 3\end{pmatrix}.
A equação \begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 1 & 3\end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0
x + 3y = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -3y.
Portanto, os autovetores associados a \lambda_1=2 são todos os múltiplos de \displaystyle (-3,\,1). Uma base do autoespaço é
\{\,(-3,\,1)\}.

Passo 6

Para \lambda_2=6:
A - 6I = \begin{pmatrix}3-6 & 3 \\\\ 1 & 5-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 & 3 \\\\ 1 & -1\end{pmatrix}.
A equação \begin{pmatrix}-3 & 3 \\\\ 1 & -1\end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0 leva a
-3x + 3y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = x.
Assim, os autovetores associados a \lambda_2=6 são os múltiplos de \displaystyle (1,\,1). Uma base do autoespaço é
\{(1,\,1)\}.

Resposta

Para \lambda_1=2: autovetores proporcionais a (-3,1) e autoespaço gerado por \{(-3,1)\}.
Para \lambda_2=6: autovetores proporcionais a (1,1) e autoespaço gerado por \{(1,1)\}.

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