[4] (2,0 pontos) Seja o operador T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} dado por
T(x, y)=(3 x+3 y, x+5 y)
Determine os autovetores e uma base para o auto-espaço.
Passo 1
O enunciado define o operador linear T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 dado por
T(x,y) = (3x+3y,\;x+5y).
O objetivo é encontrar os autovalores \lambda, os autovetores associados e, consequentemente, uma base para cada autoespaço \ker(T - \lambda I). Para isso, vamos representar T por sua matriz na base canônica e usar a condição
\det(A - \lambda I)=0
para achar os autovalores, depois resolver (A - \lambda I)v=0 para cada \lambda.
A equação \begin{pmatrix}-3 & 3 \\\\ 1 & -1\end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0 leva a
-3x + 3y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = x.
Assim, os autovetores associados a \lambda_2=6 são os múltiplos de \displaystyle (1,\,1). Uma base do autoespaço é
\{(1,\,1)\}.
Resposta
Para \lambda_1=2: autovetores proporcionais a (-3,1) e autoespaço gerado por \{(-3,1)\}.
Para \lambda_2=6: autovetores proporcionais a (1,1) e autoespaço gerado por \{(1,1)\}.