[2.0 Pontos] Encontre os primeiros termos numa expansão em série de potências em torno de
para uma solução geral de
Passo 1
O enunciado pede os primeiros termos da expansão em série de potências em torno de
para a equação
Isso é um ODE com ponto ordinário em
, então usamos o método de séries de potências: supomos
e determinamos uma relação de recorrência entre os coeficientes
.
Passo 2
Calculemos
e substituamos na EDO:
Então
Igualando coeficientes de
:
para :
para
para
:
Passo 3
Com
e
livres, calculemos
(caso
):
Passo 4
Em seguida
e
dão
Passo 5
Logo a solução geral é
onde, tomando
e
, temos os dois ramos independentes