[2.0 Pontos] Encontre os primeiros termos numa expansão em série de potências em torno de x=0 para uma solução geral de
y^{\prime \prime}-(1+x) y=0

Passo 1

O enunciado pede os primeiros termos da expansão em série de potências em torno de x=0 para a equação
y'' - (1 + x)\,y = 0.
Isso é um ODE com ponto ordinário em x=0, então usamos o método de séries de potências: supomos
y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n
e determinamos uma relação de recorrência entre os coeficientes a_n.

Passo 2

Calculemos y'' e substituamos na EDO:
y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n, \quad y'' = \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^n.
Então
y'' - y - x\,y = \sum_{n=0}^\infty \bigl[(n+2)(n+1)a_{n+2} - a_n \bigr]x^n - \sum_{n=1}^\infty a_{n-1}x^n = 0.
Igualando coeficientes de x^n:
para n=0:
2\,a_2 - a_0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a_2 = \tfrac{a_0}{2}.
para n\ge1:
(n+2)(n+1)\,a_{n+2} - a_n - a_{n-1} = 0 \quad\Longrightarrow\quad a_{n+2} = \frac{a_n + a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}.

Passo 3

Com a_0 e a_1 livres, calculemos a_3 (caso n=1):
a_3 = \frac{a_1 + a_0}{3\cdot 2} = \frac{a_1 + a_0}{6}.

Passo 4

Em seguida n=2 e n=3 dão
a_4 = \frac{a_2 + a_1}{4\cdot 3} = \frac{\tfrac{a_0}{2} + a_1}{12} = \frac{a_0 + 2\,a_1}{24}, \quad a_5 = \frac{a_3 + a_2}{5\cdot 4} = \frac{\tfrac{a_1+a_0}{6} + \tfrac{a_0}{2}}{20} = \frac{4\,a_0 + a_1}{120}.

Passo 5

Logo a solução geral é
y = a_0\,y_1(x) + a_1\,y_2(x),
onde, tomando a_0=C_1 e a_1=C_2, temos os dois ramos independentes
y_1(x) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{30} + \cdots \quad\text{e}\quad y_2(x) = x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{12} + \frac{x^5}{120} + \cdots.

Resposta

y = C_1\Bigl(1 + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{6} + \tfrac{x^4}{24} + \cdots\Bigr) + C_2\Bigl(x + \tfrac{x^3}{6} + \tfrac{x^4}{12} + \cdots\Bigr).

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