Considere uma partícula de massa confinada em uma caixa infinita de lado . Dentro da caixa, , a energia potencial é nula. Fora dos limites da caixa a energia potencial é infinita.
(a) ponto Quais são os valores da função de onda independente no tempo, , em e em ?
(b) [1,2 ponto] Encontre a função de onda independente do tempo, , normalizada para o estado de energia de ordem da caixa, .
(c) [0,4 ponto] Quais os valores permitidos para o comprimento de onda, , da partícula na caixa?
(d) [0,6 ponto] Considere que a partícula na caixa se encontra no primeiro estado excitado de energia. Qual é a probabilidade, , dela ser encontrada na região ?
Passo 1
O enunciado descreve uma partícula de massa confinada numa “caixa” unidimensional de potencial infinito nas paredes em e . Dentro da caixa temos potencial . Queremos (a) impor condições de contorno em e , (b) achar a função de onda independente do tempo normalizada , (c) determinar os comprimentos de onda permitidos e (d) calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo quando ela está no primeiro estado excitado . Vamos usar a equação de Schrödinger independente do tempo e normalização de funções de onda.
Passo 2
Para a ETE Schrödinger dá a equação
A solução geral é
com . Como as paredes são infinitas em e , a função deve se anular ali:
Portanto .
Passo 3
Para normalizar exigimos
Como , segue . Logo
Passo 4
Sabendo , o comprimento de onda associado é
Passo 5
Para o primeiro estado excitado , a probabilidade de achar a partícula em é