1. [2,6 pontos]
Considere uma partícula de massa m confinada em uma caixa infinita de lado L. Dentro da caixa, 0<x<L, a energia potencial é nula. Fora dos limites da caixa a energia potencial é infinita.
(a) [0,4 ponto ] Quais são os valores da função de onda independente no tempo, u(x), em x=0 e em x=L ?
(b) [1,2 ponto] Encontre a função de onda independente do tempo, un(x), normalizada para o estado de energia de ordem n da caixa, n=1,2,3, ldots.
(c) [0,4 ponto] Quais os valores permitidos para o comprimento de onda, lambdan, da partícula na caixa?
(d) [0,6 ponto] Considere que a partícula na caixa se encontra no primeiro estado excitado de energia. Qual é a probabilidade, P, dela ser encontrada na região 0<x<L / 2 ?

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa m confinada numa “caixa” unidimensional de potencial infinito nas paredes em x=0 e x=L. Dentro da caixa 0<x<L temos potencial V=0. Queremos (a) impor condições de contorno em x=0 e x=L, (b) achar a função de onda independente do tempo normalizada un(x), (c) determinar os comprimentos de onda permitidos lambdan e (d) calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo 0<x<L/2 quando ela está no primeiro estado excitado n=2. Vamos usar a equação de Schrödinger independente do tempo e normalização de funções de onda.

Passo 2

Para 0<x<L a ETE Schrödinger dá a equação
-hbar^22m,d^2udx^2=Eu
A solução geral é
u(x)=Asin(kx)+Bcos(kx),
com k=raiz2mE/hbar. Como as paredes são infinitas em x=0 e x=L, a função deve se anular ali:
u(0)=0Rightarrow B=0,
u(L)=0Rightarrow sin(kL)=0Rightarrow kL=npi,;n=1,2,3,dots
Portanto u(x)=Asin(npi x/L).

Passo 3

Para normalizar un(x)=Asin(npi x/L) exigimos
integral0^L|un(x)|^2dx=1 Rightarrow |A|^2integral0^Lsin^2!l(npi x/Lr),dx=1
Como integral0^Lsin^2(npi x/L),dx=L/2, segue |A|^2=2/L. Logo
un(x)=raiz2L;sin!l(npi xLr), n=1,2,3,dots

Passo 4

Sabendo k=npi/L, o comprimento de onda associado é
lambdan=2pik=2pinpi/L=2Ln

Passo 5

Para o primeiro estado excitado n=2, a probabilidade de achar a partícula em 0<x<L/2 é
P=integral0^L/2l|u2(x)r|^2dx =2Lintegral0^L/2sin^2!l(tfrac2pi xLr),dx
Usando sin^2theta=(1-cos2theta)/2, obtém-se
integral0^L/2sin^2!l(tfrac2pi xLr),dx =L4,
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P=2L,L4=12

Resposta

a) u(0)=0 e u(L)=0.
b) un(x)=raiz2L;sin!l(npi xLr),;n=1,2,dots
c) lambdan=2Ln
d) P=12

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