[2,5 pontos] (3) Converta a integral
em uma integral equivalente em coordenadas cilíndricas e calcule o resultado.
Passo 1
O enunciado pede a conversão da integral
para coordenadas cilíndricas e o seu cálculo. O conteúdo envolvido é a mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas, usando
e o jacobiano
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas a projeção da região no plano
é o quarto de disco de raio
no primeiro quadrante; portanto
Como
varia de
até
, e
, temos
O integrando
e o elemento de volume
vira
.
Passo 3
A integral em cilíndricas fica
Integramos primeiro em
:
Assim sobra
Passo 4
Podemos separar as integrais em
e
:
Calculando
Logo o valor da integral é