[2,5 pontos] (3) Converta a integral \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{0}^{y} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d z d y d x em uma integral equivalente em coordenadas cilíndricas e calcule o resultado.

Passo 1

O enunciado pede a conversão da integral
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\int_{0}^{y}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dz\,dy\,dx
para coordenadas cilíndricas e o seu cálculo. O conteúdo envolvido é a mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas, usando
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,
e o jacobiano r.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas a projeção da região no plano xy é o quarto de disco de raio 1 no primeiro quadrante; portanto
0\le\theta\le\frac{\pi}{2},\quad 0\le r\le1.
Como z varia de 0 até y, e y=r\sin\theta, temos
0\le z\le r\sin\theta.
O integrando \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r e o elemento de volume dx\,dy\,dz vira r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 3

A integral em cilíndricas fica
\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1}\int_{z=0}^{r\sin\theta} \bigl(r\bigr)\,\bigl(r\,dz\,dr\,d\theta\bigr) =\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{1}\int_{0}^{r\sin\theta}r^{2}\;dz\,dr\,d\theta.
Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{r\sin\theta}r^{2}\;dz =r^{2}\bigl[z\bigr]_{0}^{r\sin\theta} =r^{3}\sin\theta.
Assim sobra
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{1}r^{3}\sin\theta\;dr\,d\theta.

Passo 4

Podemos separar as integrais em r e \theta:
\Bigl(\int_{0}^{1}r^{3}\,dr\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta\Bigr).
Calculando
\int_{0}^{1}r^{3}\,dr=\frac{1}{4}, \qquad \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta =\bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi/2} =1.
Logo o valor da integral é
\frac{1}{4}\times1=\frac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

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