[ 2,5 pontos] (2) Se uma carga elétrica está distribuída sobre uma regiâo D do plano X Y e a densidade de carga (em unidades de carga por unidade de área) no ponto ( x, y ) em D é dada por \sigma(x, y), então a carga total Q é dada por Q=\int_{D} \int \sigma(x, y) d A. Considere que uma carga elétrica está distribuída sobre o disco x^{2}+y^{2} \leq 9, de modo que a densidade de carga em (x, y) é \sigma(x, y)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} (medida em coulombs por metro quadrado). Determine a carga total no disco.

Passo 1

O enunciado nos dá uma distribuição de carga sobre o disco definido por x^{2}+y^{2}\le9 no plano XY. A densidade de carga é
\sigma(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},
e pede-se a carga total
Q=\iint_{D}\sigma(x,y)\,dA.
O conteúdo aplicado será o uso de coordenadas polares para calcular integrais duplas em regiões circulares.

Passo 2

Em coordenadas polares, fazemos as substituições
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta,
e no disco D temos 0\le r\le3 e 0\le\theta\le2\pi. A densidade fica
\sigma(r,\theta)=\frac{1}{\sqrt{r^{2}}}=\frac{1}{r}\quad(r>0).

Passo 3

Substituindo na integral, o integrando é
\sigma(r,\theta)\,dA=\frac{1}{r}\,r\,dr\,d\theta=dr\,d\theta.
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Q=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\bigl[r\bigr]_{0}^{3}d\theta =\int_{0}^{2\pi}3\,d\theta =3\cdot2\pi=6\pi.

Resposta

A carga total no disco é 6\pi coulombs.

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