[2,5 pontos] (1) Encontre todos os pontos críticos da função
e classifiqueos.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos todos os pontos críticos da função
e classificá-los como ponto de máximo, mínimo ou de sela. O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais, solução do sistema
e uso do teste da segunda derivada (Hessiano).
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem e montamos o sistema
:
O sistema crítico é
Passo 3
Resolvendo o sistema, da primeira equação vem
Substituindo na segunda:
Logo
ou
Se , então
, ponto
.
Se , então
, ponto
.
Se
Se
Passo 4
Para classificar cada ponto, calculamos as segundas derivadas e o determinante do Hessiano:
O determinante do Hessiano é
Passo 5
Avaliamos
e
em cada ponto crítico:
No ponto
:
logo é ponto de sela.
No ponto
:
e
portanto é ponto de máximo local.
Resposta
Pontos críticos e classificação:
é ponto de sela.
é ponto de máximo local.