[2,5 pontos] (1) Encontre todos os pontos críticos da função f(x, y)=x y-x^{2}-y^{3} e classifiqueos.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos todos os pontos críticos da função
f(x,y)=x\,y - x^{2} - y^{3}
e classificá-los como ponto de máximo, mínimo ou de sela. O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais, solução do sistema \nabla f=0 e uso do teste da segunda derivada (Hessiano).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem e montamos o sistema \nabla f=0:
f_{x}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=y - 2x, \qquad f_{y}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}=x - 3y^{2}.
O sistema crítico é
\begin{cases} y - 2x = 0,\\\ x - 3y^{2} = 0. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo o sistema, da primeira equação vem
y = 2x.
Substituindo na segunda:
x - 3\,(2x)^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x - 12x^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x\,(1 - 12x)=0.
Logo x=0 ou x=\tfrac{1}{12}.
Se x=0, então y=2\cdot0=0, ponto (0,0).
Se x=\tfrac{1}{12}, então y=2\cdot\tfrac{1}{12}=\tfrac{1}{6}, ponto \bigl(\tfrac{1}{12},\tfrac{1}{6}\bigr).

Passo 4

Para classificar cada ponto, calculamos as segundas derivadas e o determinante do Hessiano:
f_{xx}(x,y) = \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} = -2, \qquad f_{yy}(x,y) = \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} = -6y, \qquad f_{xy}(x,y)=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\,\partial y}=1.
O determinante do Hessiano é
D(x,y) = f_{xx}\,f_{yy} - \bigl(f_{xy}\bigr)^{2} = (-2)\,(-6y) - 1 = 12y - 1.

Passo 5

Avaliamos D e f_{xx} em cada ponto crítico:
No ponto (0,0):
D(0,0) = 12\cdot0 - 1 = -1 < 0,
logo é ponto de sela.
No ponto \bigl(\tfrac{1}{12},\tfrac{1}{6}\bigr):
D\bigl(\tfrac{1}{12},\tfrac{1}{6}\bigr)=12\cdot\tfrac{1}{6}-1=2-1=1>0,
e
f_{xx}=-2<0,
portanto é ponto de máximo local.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
(0,0) é ponto de sela.
\bigl(\tfrac{1}{12},\tfrac{1}{6}\bigr) é ponto de máximo local.

Exercícios relacionados