[2,5 pontos] (4) O valor médio de uma função contínua f(x, y, z) num sólido E é definido como
f_{m}=\frac{1}{V_{E}} \iint_{E} \int f(x, y, z) d V
onde V_{E} é o volume do sólido E. Se E=\left\{(x, y, z) \in \Re^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4, z \geq 0\right\}, então determine o valor médio da função f(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} em E.

Passo 1

O enunciado pede o valor médio de uma função contínua f(x,y,z) num sólido E, cuja definição é
f_{m} = \frac{1}{V_{E}} \iiint_{E} f(x,y,z)\,dV.
Aqui temos E = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+y^2+z^2\le4,\;z\ge0\}, que é a meia-esfera de raio 2 acima do plano z=0, e
f(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2+z^2}.
Para resolver, vamos usar coordenadas esféricas, onde x=\rho\sin\varphi\cos\theta, y=\rho\sin\varphi\sin\theta, z=\rho\cos\varphi e o elemento de volume é \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 2

Na integral do numerador calculamos
\iiint_{E} f(x,y,z)\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{\rho=0}^{2} \rho \,(\rho^2\sin\varphi)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta,
pois f=\rho em esféricas e o jacobiano é \rho^2\sin\varphi. Assim o integrando fica \rho^3\sin\varphi.

Passo 3

Calculemos a integral em \rho:
\int_{0}^{2} \rho^3\,d\rho = \left.\frac{\rho^4}{4}\right|_{0}^{2} = \frac{16}{4} =4.
Logo
\iiint_{E} f\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2} 4\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
A integral em \varphi é
\int_{0}^{\pi/2} \sin\varphi\,d\varphi = 1
e em \theta é
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Portanto
\iiint_{E} f\,dV = 4 \times 1 \times 2\pi = 8\pi.

Passo 4

O volume V_{E} da meia-esfera de raio 2 é metade do volume de uma esfera de raio 2:
V_{E} = \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi (2)^3 = \frac{1}{2}\cdot \frac{32}{3}\pi = \frac{16}{3}\pi.

Passo 5

Finalmente, o valor médio é
f_{m} = \frac{1}{V_{E}} \iiint_{E} f\,dV = \frac{8\pi}{\tfrac{16}{3}\pi} = \frac{8\pi}{1}\cdot \frac{3}{16\pi} = \frac{3}{2}.

Resposta

O valor médio de f em E é \displaystyle \frac{3}{2}.

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