[2,5 pontos] (4) O valor médio de uma função contínua f(x, y, z) num sólido E é definido como
f_{m}=\frac{1}{V_{E}} \iint_{E} \int f(x, y, z) d V
onde V_{E} é o volume do sólido E. Se E=\left\{(x, y, z) \in \Re^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4, z \geq 0\right\}, então determine o valor médio da função f(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} em E.
Passo 1
O enunciado pede o valor médio de uma função contínua f(x,y,z) num sólido E, cuja definição é
f_{m} = \frac{1}{V_{E}} \iiint_{E} f(x,y,z)\,dV.
Aqui temos E = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+y^2+z^2\le4,\;z\ge0\}, que é a meia-esfera de raio 2 acima do plano z=0, e
f(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2+z^2}.
Para resolver, vamos usar coordenadas esféricas, onde x=\rho\sin\varphi\cos\theta, y=\rho\sin\varphi\sin\theta, z=\rho\cos\varphi e o elemento de volume é \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.