[2 Pontos] Determine área da regiāo delimitada pelo laço da curva x=1-t^2 e y=t-t^3.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x = 1 - t^2, y = t - t^3
e pede a área do laço fechado. O conteúdo aqui é usar a fórmula de área em coordenadas paramétricas, que exige determinar antes o intervalo de t que forma o laço.

Passo 2

Para achar o laço, buscamos auto-interseções. Notamos que em t=1 e t=-1 a curva passa em
x(1)=1-1=0,;y(1)=1-1=0, x(-1)=1-1=0,;y(-1)=-1-(-1)=0
Logo esses dois valores de t geram o mesmo ponto (0,0), e o trecho de t=-1 a t=1 descreve um laço completo.

Passo 3

A área do laço é dada por
A = 12integralt=-1^1 l(x,y' - y,x'r),dt

Passo 4

Calculamos as derivadas:
x' = dxdt = -2t, y' = dydt = 1 - 3t^2
Então o integrando fica
x,y' - y,x' = (1 - t^2)(1 - 3t^2) - (t - t^3)(-2t) = 1 - 4t^2 + 3t^4 + 2t^2 - 2t^4 = t^4 - 2t^2 + 1 = (t^2-1)^2

Passo 5

Agora integramos de -1 a 1:
integral-1^1(t^2-1)^2,dt = integral-1^1(t^4-2t^2+1),dt = 2!integral0^1(t^4-2t^2+1),dt = 2l[tfract^55 - tfrac2t^33 + tr]0^1 = 2l(tfrac15-tfrac23+1r) = tfrac1615

Passo 6

Portanto a área é
A = 12 cdot 1615 = 815

Resposta

815

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