[2 Pontos] Seja
I=integral-1^0 integralraiz-x^1 3 cos (y^3) d y d x+integral0^1 integralraizx^1 3 cos (y^3) d y d x
Esboce a região Dx y correspondente às duas integrais iteradas, inverta a ordem de integração e calcule o valor de I.

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
I=integral-1^0integralraiz-x^13cosl(y^3r),dy,dx +integral0^1integralraizx^13cosl(y^3r),dy,dx
sobre a região D no plano xy. O objetivo é esboçar D, inverter a ordem de integração (teorema de Fubini) e calcular I. Vamos usar a descrição geométrica de D e depois a substituição u=y^3 para avaliar a integral.

Passo 2

Descrição de D: para -1<= x<=0 temos y de raiz-x até 1, e para 0<= x<=1 temos y de raizx até 1. Isso significa que D é
D=l(x,y):-1<= x<=1,;raiz|x|<= y<=1r
Esboço: é a região entre as curvas y=raizx (para x>=0) e y=raiz-x (para x<=0), fechada acima em y=1. Invertendo a ordem, y varia de 0 a 1 e, para cada y, x varia entre as abscissas da parábola inversa pm y^2. Logo,
I=integraly=0^1integralx=-y^2^y^23cosl(y^3r),dx,dy

Passo 3

Calcular a integral interna em x:
integral-y^2^y^23cosl(y^3r),dx =3cosl(y^3r)l[yr]x=-y^2^x=y^2 =3cosl(y^3r)cdotl(y^2-(-y^2)r) =6y^2cosl(y^3r)
Logo
I=integral0^16y^2cosl(y^3r),dy
Fazendo u=y^3, du=3y^2,dy, temos
I=6integral0^1y^2cosl(y^3r),dy =6integralu=0^1cos(u),du3 =2integral0^1cos(u),du =2l[sin(u)r]0^1 =2sin(1)

Resposta

I=2sin(1)

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