Calcule as seguintes integrais usando o método da substituição:
integral d x3 x ln (3 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral integral dx3x ln(3x) usando o método da substituição. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente da técnica de substituição para facilitar a integração. Vamos precisar escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, ao substituir por uma nova variável, simplifique a integral. Observamos que temos ln(3x) no denominador. Então, vamos tentar usar essa expressão como nossa substituição.
Vamos definir:
u = ln(3x)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial du em termos de dx. Para isso, derivamos u em relação a x:
dudx = ddx ln(3x)
Usando a regra da cadeia, a derivada de ln(3x) é:
dudx = 13x cdot 3 = 33x = 1x
Portanto:
du = 1x dx

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de u e du. A integral original é:
integral dx3x ln(3x)
Sabemos que u = ln(3x) e du = 1x dx. Precisamos ajustar a integral para substituir dx e ln(3x) :
Primeiro, isole dx em termos de du:
dx = x , du
Substituindo na integral:
integral x , du3x cdot u
Os x se cancelam:
integral du3u

Passo 5

Agora, a integral ficou muito mais simples:
integral du3u = 13 integral duu
Sabemos que a integral de 1u é o logaritmo natural de u:
13 ln|u| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original x. Lembramos que u = ln(3x), então substituímos de volta:
13 ln|ln(3x)| + C

Resposta

A integral integral dx3x ln(3x) é igual a 13 ln|ln(3x)| + C, onde C é a constante de integração.

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