Calcule as seguintes integrais usando o método da substituição:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral
usando o método da substituição. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente da técnica de substituição para facilitar a integração. Vamos precisar escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, ao substituir por uma nova variável, simplifique a integral. Observamos que temos
no denominador. Então, vamos tentar usar essa expressão como nossa substituição.
Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o diferencial
em termos de
. Para isso, derivamos
em relação a
:
Usando a regra da cadeia, a derivada de
é:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de
e
. A integral original é:
Sabemos que
e
. Precisamos ajustar a integral para substituir
e
:
Primeiro, isole
em termos de
:
Substituindo na integral:
Os
se cancelam:
Passo 5
Agora, a integral ficou muito mais simples:
Sabemos que a integral de
é o logaritmo natural de
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, voltamos à variável original
. Lembramos que
, então substituímos de volta:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.