[2] (3,0 pontos)Determine a região de integração, troque a ordem da integral e resolva a integral resultante.
\int_{0}^{1}\left[\int_{y}^{1} e^{x^{2}} d x\right] d y

Passo 1

O enunciado pede para determinar a região de integração da integral dupla
\int_{0}^{1}\Bigl[\int_{y}^{1} e^{x^{2}}\,dx\Bigr]\,dy
trocar a ordem de integração (usando o Teorema de Fubini) e, por fim, calcular o valor numérico da integral resultante.

Passo 2

Nas desigualdades internas temos
0 \le y \le 1, \quad y \le x \le 1.
Isso define a região
R = \{(x,y)\mid 0 \le y \le 1,\;y \le x \le 1\},
que é um triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (1,1).

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, descrevemos R por
0 \le x \le 1, \quad 0 \le y \le x.
A integral vira então
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{x} e^{x^{2}}\,dy\,dx.
Integrando em y primeiro, como e^{x^{2}} independe de y,
\int_{y=0}^{x} e^{x^{2}}\,dy = e^{x^{2}}\bigl[y\bigr]_{0}^{x} = x\,e^{x^{2}}.

Passo 4

Restou calcular
\int_{0}^{1} x\,e^{x^{2}}\,dx.
Fazemos u = x^{2}, logo du = 2x\,dx ou x\,dx = \tfrac12\,du. Quando x=0, u=0; quando x=1, u=1. Assim
\int_{0}^{1} x\,e^{x^{2}}\,dx = \int_{u=0}^{1} e^{u}\,\tfrac12\,du = \tfrac12\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \tfrac12\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = \frac{e-1}{2}.

Resposta

\frac{e - 1}{2}

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