a) Seja K \subset \mathbb{R}^{2} um conjunto compacto com interior não vazío de fronteira gamma uma curva fechada simples C^{1} por partes, orientada no sentido anti-horário. Verifique que:
operatorname{Area}(K)=\oint_{\gamma} x d y
b) Determine a área da parte supeficie z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} comprendida entre os planos x+y=1, x+2 y=4, x=0, y=0.
Passo 1
O enunciado tem duas partes:
(a) mostrar que, para K\subset\mathbb{R}^2 compacto com interior não vazio e fronteira \gamma curva fechada simples C^1 por partes orientada anti-horário, vale
\operatorname{Area}(K)=\oint_{\gamma}x\,dy.
Aqui vamos usar o Teorema de Green.
(b) calcular a área da parte da superfície
z=\sqrt{x^2+y^2}
contida entre os planos x+y=1, x+2y=4, x=0 e y=0. Para isso vamos usar a fórmula de área de superfície como integral dupla sobre o domínio projetado no plano xy.
Passo 2
Aplicamos o Teorema de Green, que diz: se P,Q\in C^1 em uma região que contém K e \gamma=\partial K é orientada anti-horário, então