a) Seja K \subset \mathbb{R}^{2} um conjunto compacto com interior não vazío de fronteira gamma uma curva fechada simples C^{1} por partes, orientada no sentido anti-horário. Verifique que:
operatorname{Area}(K)=\oint_{\gamma} x d y
b) Determine a área da parte supeficie z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} comprendida entre os planos x+y=1, x+2 y=4, x=0, y=0.

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
  • (a) mostrar que, para K\subset\mathbb{R}^2 compacto com interior não vazio e fronteira \gamma curva fechada simples C^1 por partes orientada anti-horário, vale
\operatorname{Area}(K)=\oint_{\gamma}x\,dy.
Aqui vamos usar o Teorema de Green.
  • (b) calcular a área da parte da superfície
z=\sqrt{x^2+y^2}
contida entre os planos x+y=1, x+2y=4, x=0 e y=0. Para isso vamos usar a fórmula de área de superfície como integral dupla sobre o domínio projetado no plano xy.

Passo 2

Aplicamos o Teorema de Green, que diz: se P,Q\in C^1 em uma região que contém K e \gamma=\partial K é orientada anti-horário, então
\oint_{\gamma}P\,dx + Q\,dy \;=\;\iint_{K}\bigl(\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\bigr)\,dA.
Escolhendo P(x,y)=0 e Q(x,y)=x, temos
\tfrac{\partial Q}{\partial x}=1,\quad \tfrac{\partial P}{\partial y}=0 \quad\Longrightarrow\quad \oint_{\gamma}x\,dy \;=\;\iint_{K}1\,dA \;=\;\operatorname{Area}(K).

Passo 3

Para a parte (b), seja
f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2},
o trecho da superfície acima do domínio planar
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\ge1,\;x+2y\le4\}.
A área da superfície é dada por
A=\iint_{D}\sqrt{1 + (f_x)^2 + (f_y)^2}\;dA.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
f_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\quad f_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.
Logo
1+(f_x)^2+(f_y)^2 =1+\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2} =1+1=2,
portanto
\sqrt{1+(f_x)^2+(f_y)^2}=\sqrt{2},
e
A=\sqrt{2}\iint_{D}dA =\sqrt{2}\,\bigl[\text{área de }D\bigr].á

Passo 5

O domínio D é o quadrilátero convexo com vértices
(1,0), (4,0), (0,2) e (0,1).
Pela fórmula de Gauss (shoelace), a área de D é
\text{Area}(D) =\tfrac12\bigl| 1\cdot0 + 4\cdot2 + 0\cdot1 + 0\cdot0 \;-\;(0\cdot4 + 0\cdot0 + 2\cdot0 + 1\cdot1) \bigr| =\tfrac12\bigl|8-1\bigr| =\tfrac72.

Passo 6

Substituindo em A=\sqrt{2}\,\text{Area}(D), vem
A=\sqrt{2}\times \frac72=\frac{7\sqrt{2}}{2}.

Resposta

a) \operatorname{Area}(K)=\displaystyle\oint_{\gamma}x\,dy
b) A=\dfrac{7\sqrt{2}}{2}

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