com \alpha \in \mathbb{R}. Encontre a solução do sistema e classifique o tipo de ponto em função do parâmetro \alpha.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
\mathbf{x}' = A\,\mathbf{x}
com
A = \begin{pmatrix}-1 & -1 \\[6pt] -\alpha & -1\end{pmatrix},
onde \alpha\in\mathbb{R}.
Queremos achar a solução geral \mathbf{x}(t) e, a partir dos autovalores, classificar o ponto crítico \mathbf{x}=0 conforme \alpha.]
Caso \alpha=0 (autovalor duplo \lambda=-1, matriz não diagonalizável)
Temos \lambda_1=\lambda_2=-1. Um autovetor é v^{(1)}=(1,0)^T.
Buscando vetor generalizado w tal que (A+I)w = v^{(1)}, encontra-se por exemplo w=(0,-1)^T.
A solução é