Calcule as integrais:
\int_{-1,5}^{0} x e^{x} d x Pela regra do Trapézio e pela regra de Simpson usando seis divisões do intervalo de integração. Compare os resultados.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{-1,5}^{0} x e^{x}\,dx
usando a Regra do Trapézio e a Regra de Simpson com n=6 subdivisões. O conteúdo aqui é integração numérica: vamos discretizar o intervalo, avaliar f(x)=x e^x nos pontos, e depois aplicar as fórmulas de Trapézio e de Simpson.

Passo 2

Primeiro determinamos o passo
h = \frac{0 - (-1,5)}{6} = \frac{1,5}{6} = 0,25.
Os pontos são
x_i = -1,5 + i\cdot 0,25,\quad i=0,1,2,3,4,5,6,
isto é
-1,5,-1,25,-1,-0,75,-0,5,-0,25,0.

Passo 3

Calculamos f(x_i)=x_i e^{x_i} (aproximando a 6 casas decimais):
f(-1,5)\approx -1,5\,e^{-1,5} \approx -0,334695
f(-1,25)\approx -1,25\,e^{-1,25} \approx -0,358131
f(-1)\approx -1\,e^{-1} \approx -0,367879
f(-0,75)\approx -0,75\,e^{-0,75} \approx -0,354275
f(-0,5)\approx -0,5\,e^{-0,5} \approx -0,303265
f(-0,25)\approx -0,25\,e^{-0,25} \approx -0,194700
f(0)=0.

Passo 4

Aplicando a Regra do Trapézio,
T = \frac{h}{2}\Bigl(f(x_0) + 2\sum_{i=1}^{5}f(x_i) + f(x_6)\Bigr).
Aqui
\sum_{i=1}^{5}f(x_i)\approx -0,358131 -0,367879 -0,354275 -0,303265 -0,194700 = -1,578252,
f(x_0)+f(x_6)= -0,334695 + 0 = -0,334695.
Logo
T = \frac{0,25}{2}\bigl(-0,334695 + 2(-1,578252)\bigr) \approx 0,125\cdot(-3,491199) \approx -0,43640.

Passo 5

Aplicando a Regra de Simpson,
S = \frac{h}{3}\Bigl(f(x_0) + 4\sum_{\substack{i=1,3,5}}f(x_i) + 2\sum_{\substack{i=2,4}}f(x_i) + f(x_6)\Bigr).
Calculamos
\sum_{i=1,3,5}f(x_i)\approx -0,358131 -0,354275 -0,194700 = -0,907106,
\sum_{i=2,4}f(x_i)\approx -0,367879 -0,303265 = -0,671144.
Então
S = \frac{0,25}{3}\bigl(-0,334695 + 4(-0,907106) + 2(-0,671144) + 0\bigr) \approx 0,0833333\cdot(-5,305409) \approx -0,44212.

Passo 6

Comparando, temos
-0,43640 pela Regra do Trapézio e -0,44212 pela Regra de Simpson. A Regra de Simpson dá um valor mais próximo ao real da integral, mostrando maior precisão.

Resposta

Regra do Trapézio: -0,43640
Regra de Simpson: -0,44212
A Regra de Simpson é mais precisa.

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