[2] (5,0 pontos) Determine o vetor posição de uma partícula, dada a sua aceleração e sua velocidade e posição incial.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma partícula que está se movendo no espaço, e a gente quer descobrir a posição dela em qualquer instante de tempo
. Para isso, nos deram a aceleração da partícula
, a velocidade inicial
e a posição inicial
. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo integral, principalmente a integração de vetores, para passar da aceleração para a velocidade e depois da velocidade para a posição.
Passo 2
Primeiro, a gente sabe que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade
, precisamos integrar a aceleração
em relação ao tempo
. A aceleração dada é:
Vamos integrar cada componente separadamente:
Integrando termo a termo:
Aqui,
é o vetor constante de integração.
Passo 3
Agora, usamos a condição inicial da velocidade para encontrar
. Sabemos que
. Vamos substituir
na expressão de
:
Isso deve ser igual a
:
Resolvendo para
:
Então, a expressão da velocidade fica:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos a expressão da velocidade
, vamos encontrar a posição
integrando a velocidade em relação ao tempo:
Integrando termo a termo:
Aqui,
é o vetor constante de integração.
Passo 5
Vamos usar a condição inicial da posição
para encontrar
. Substituindo
na expressão de
:
Isso deve ser igual a
:
Logo,
.
Assim, a expressão da posição final é:
Resposta
A posição da partícula em função do tempo é: