[2] (5,0 pontos) Determine o vetor posição de uma partícula, dada a sua aceleração e sua velocidade e posição incial.
a(t)=t i+e^t j+e^-t k, v(0)=k, r(0)=j+k

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma partícula que está se movendo no espaço, e a gente quer descobrir a posição dela em qualquer instante de tempo t . Para isso, nos deram a aceleração da partícula a(t) , a velocidade inicial v(0) e a posição inicial r(0) . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo integral, principalmente a integração de vetores, para passar da aceleração para a velocidade e depois da velocidade para a posição.

Passo 2

Primeiro, a gente sabe que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade v(t) , precisamos integrar a aceleração a(t) em relação ao tempo t . A aceleração dada é:
a(t) = t, i + e^t, j + e^-t, k
Vamos integrar cada componente separadamente:
integral a(t), dt = integral t, i, dt + integral e^t, j, dt + integral e^-t, k, dt
Integrando termo a termo:
v(t) = t^22, i + e^t, j - e^-t, k + C
Aqui, C é o vetor constante de integração.

Passo 3

Agora, usamos a condição inicial da velocidade para encontrar C . Sabemos que v(0) = k . Vamos substituir t = 0 na expressão de v(t) :
v(0) = 0^22, i + e^0, j - e^0, k + C = 0, i + 1, j - 1, k + C
Isso deve ser igual a k :
0, i + 1, j - 1, k + C = 0, i + 0, j + 1, k
Resolvendo para C :
C = -1, j + 2, k
Então, a expressão da velocidade fica:
v(t) = t^22, i + e^t, j - e^-t, k - j + 2, k
Simplificando:
v(t) = t^22, i + (e^t - 1), j + (2 - e^-t), k

Passo 4

Agora que temos a expressão da velocidade v(t) , vamos encontrar a posição r(t) integrando a velocidade em relação ao tempo:
r(t) = integral v(t), dt = integral t^22, i, dt + integral (e^t - 1), j, dt + integral (2 - e^-t), k, dt
Integrando termo a termo:
r(t) = t^36, i + (e^t - t), j + (2t + e^-t), k + D
Aqui, D é o vetor constante de integração.

Passo 5

Vamos usar a condição inicial da posição r(0) = j + k para encontrar D . Substituindo t = 0 na expressão de r(t) :
r(0) = 0^36, i + (e^0 - 0), j + (2 cdot 0 + e^0), k + D = 0, i + 1, j + 1, k + D
Isso deve ser igual a j + k :
0, i + 1, j + 1, k + D = 0, i + 1, j + 1, k
Logo, D = 0 .
Assim, a expressão da posição final é:
r(t) = t^36, i + (e^t - t), j + (2t + e^-t), k

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é:
r(t) = t^36, i + (e^t - t), j + (2t + e^-t), k

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