Determine se a soma de todos os termos dessa sequência é finita. Justifique sua resposta.
Caso a soma seja finita, calcule o valor dessa soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de sequência geométrica! A gente tem uma sequência específica e precisamos descobrir três coisas: a razão dela, se a soma de todos os termos é finita e, se for, qual é essa soma. Para isso, vamos precisar entender o que é uma sequência geométrica e como trabalhar com ela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a razão da sequência. Em uma sequência geométrica, a razão é o número que multiplicamos para passar de um termo para o próximo. Então, pegamos um termo qualquer e dividimos pelo anterior.
Olha só:
Então, a razão dessa sequência é .
Passo 3
Agora, vamos ver se a soma de todos os termos dessa sequência é finita. Para isso, usamos o critério das séries geométricas. Se o valor absoluto da razão for menor que 1 (ou seja, ), a soma infinita dos termos converge, ou seja, é finita.
No nosso caso:
Como 13 é menor que 1, a soma dos termos dessa sequência é finita.
Passo 4
Como a soma é finita, vamos calculá-la. A fórmula para a soma S de uma sequência geométrica infinita é: