Exercício 1.7. Considere a sequência geométrica 6,2, 23, 29, ldots
  1. Determine a razão dessa sequência.
  2. Determine se a soma de todos os termos dessa sequência é finita. Justifique sua resposta.
  3. Caso a soma seja finita, calcule o valor dessa soma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de sequência geométrica! A gente tem uma sequência específica e precisamos descobrir três coisas: a razão dela, se a soma de todos os termos é finita e, se for, qual é essa soma. Para isso, vamos precisar entender o que é uma sequência geométrica e como trabalhar com ela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a razão da sequência. Em uma sequência geométrica, a razão é o número que multiplicamos para passar de um termo para o próximo. Então, pegamos um termo qualquer e dividimos pelo anterior.
Olha só:
r = 26 = 13
Então, a razão r dessa sequência é 13 .

Passo 3

Agora, vamos ver se a soma de todos os termos dessa sequência é finita. Para isso, usamos o critério das séries geométricas. Se o valor absoluto da razão for menor que 1 (ou seja, |r| < 1 ), a soma infinita dos termos converge, ou seja, é finita.
No nosso caso:
|r| = |13| = 13 < 1
Como 13 é menor que 1, a soma dos termos dessa sequência é finita.

Passo 4

Como a soma é finita, vamos calculá-la. A fórmula para a soma S de uma sequência geométrica infinita é:
S = a11 - r
onde a1 é o primeiro termo e r é a razão.
Substituindo os valores:
S = 61 - 13 = 623 = 6 times 32 = 9

Resposta

  1. A razão da sequência é r = 13 .
  2. A soma de todos os termos é finita.
  3. O valor dessa soma é 9.

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