Beleza, vamos resolver esse problema de condução de calor! A gente tem a equação diferencial parcial:
partial Tpartial t = 2 partial^2 Tpartial x^2
com as condições iniciais e de contorno:
Condição Inicial:
T(x, 0) = x, & 0 <= x < 1 2 - x, & 1 <= x < 2
Condições de Contorno:
T(0, t) = 3
partial Tpartial x|x=2 + 3 T(2, t) = 0
Vamos usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar a solução. Precisamos entender as condições de contorno para determinar os modos de vibração (funções próprias) que vão compor a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos ajustar a equação para facilitar a separação de variáveis. Suponha que a solução T(x, t) possa ser escrita como o produto de uma função de x e outra de t :
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com soluções harmônicas.
Passo 4
As soluções para X(x) dependem dos valores de lambda . Vamos considerar que lambda > 0 , então a solução geral é:
X(x) = C cos(raizlambda2 x) + D sin(raizlambda2 x)
Precisamos aplicar as condições de contorno para determinar os valores permitidos de lambda (valores próprios) e as constantes C e D .
Passo 5
Aplicando a condição de contorno T(0, t) = 3 :
Sabemos que T(x, t) = X(x) Theta(t) , então:
X(0) Theta(t) = 3
Para que isso seja válido para qualquer t , precisamos que X(0) seja constante. Vamos ajustar nossa solução homogênea para acomodar essa condição, possivelmente adicionando uma solução particular.
Passo 6
Vamos supor uma solução particular Tp(x) que satisfaça a condição de contorno estacionária T(0, t) = 3 . Considerando que, no estado estacionário, partial Tpartial t = 0 , temos:
0 = 2 d^2Tpdx^2
Integrando duas vezes:
Tp(x) = Ax + B
Aplicando T(0) = 3 :
3 = A cdot 0 + B implies B = 3
Então, Tp(x) = Ax + 3 .
Passo 7
Agora, aplicamos a outra condição de contorno no estado estacionário:
dTpdx|x=2 + 3 Tp(2) = 0
Calculando as derivadas:
dTpdx = A
Tp(2) = 2A + 3
Substituindo:
A + 3(2A + 3) = 0 implies A + 6A + 9 = 0 implies 7A = -9 implies A = -97
Então,
Tp(x) = -97x + 3
Passo 8
A solução completa será a soma da solução particular e da solução homogênea:
Igualando as expressões e resolvendo para os coeficientes Cn e Dn usando técnicas de séries de Fourier, obtemos os valores necessários para a solução completa.