(1.) Resolva
(a) partial Tpartial t=2 partial^2 Tpartial x^2lT(x, 0)=lx, 0 <= x<1 2-x, 1 <= x<2 T(0, t)=3 partial Tpartial x|x=2+3 T(2, t)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de condução de calor! A gente tem a equação diferencial parcial:
partial Tpartial t = 2 partial^2 Tpartial x^2
com as condições iniciais e de contorno:
  • Condição Inicial:
T(x, 0) = x, & 0 <= x < 1 2 - x, & 1 <= x < 2
  • Condições de Contorno:
T(0, t) = 3
partial Tpartial x|x=2 + 3 T(2, t) = 0
Vamos usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar a solução. Precisamos entender as condições de contorno para determinar os modos de vibração (funções próprias) que vão compor a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos ajustar a equação para facilitar a separação de variáveis. Suponha que a solução T(x, t) possa ser escrita como o produto de uma função de x e outra de t :
T(x, t) = X(x) cdot Theta(t)
Substituindo na equação original:
X(x) cdot dThetadt = 2 cdot Theta(t) cdot d^2Xdx^2
Dividindo os dois lados por X(x) cdot Theta(t) :
1Theta(t) dThetadt = 2 cdot 1X(x) d^2Xdx^2 = -lambda
Aqui, lambda é uma constante de separação.

Passo 3

Agora, temos duas equações ordinárias:
  1. Para Theta(t) :
dThetadt + lambda Theta = 0
A solução geral é:
Theta(t) = A e^-lambda t
  1. Para X(x) :
2 d^2Xdx^2 + lambda X = 0
Podemos reescrever como:
d^2Xdx^2 + lambda2 X = 0
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com soluções harmônicas.

Passo 4

As soluções para X(x) dependem dos valores de lambda . Vamos considerar que lambda > 0 , então a solução geral é:
X(x) = C cos(raizlambda2 x) + D sin(raizlambda2 x)
Precisamos aplicar as condições de contorno para determinar os valores permitidos de lambda (valores próprios) e as constantes C e D .

Passo 5

Aplicando a condição de contorno T(0, t) = 3 :
Sabemos que T(x, t) = X(x) Theta(t) , então:
X(0) Theta(t) = 3
Para que isso seja válido para qualquer t , precisamos que X(0) seja constante. Vamos ajustar nossa solução homogênea para acomodar essa condição, possivelmente adicionando uma solução particular.

Passo 6

Vamos supor uma solução particular Tp(x) que satisfaça a condição de contorno estacionária T(0, t) = 3 . Considerando que, no estado estacionário, partial Tpartial t = 0 , temos:
0 = 2 d^2Tpdx^2
Integrando duas vezes:
Tp(x) = Ax + B
Aplicando T(0) = 3 :
3 = A cdot 0 + B implies B = 3
Então, Tp(x) = Ax + 3 .

Passo 7

Agora, aplicamos a outra condição de contorno no estado estacionário:
dTpdx|x=2 + 3 Tp(2) = 0
Calculando as derivadas:
dTpdx = A
Tp(2) = 2A + 3
Substituindo:
A + 3(2A + 3) = 0 implies A + 6A + 9 = 0 implies 7A = -9 implies A = -97
Então,
Tp(x) = -97x + 3

Passo 8

A solução completa será a soma da solução particular e da solução homogênea:
T(x, t) = Tp(x) + sumn=1^infty [ Cn cos(raizlambdan2 x) + Dn sin(raizlambdan2 x) ] e^-lambdan t
Para determinar os coeficientes Cn e Dn , usamos a condição inicial e a ortogonalidade das funções propriárias.

Passo 9

Considerando a condição inicial:
T(x, 0) = x, & 0 <= x < 1 2 - x, & 1 <= x < 2
Substituindo na solução completa:
-97x + 3 + sumn=1^infty [ Cn cos(raizlambdan2 x) + Dn sin(raizlambdan2 x) ] = x, & 0 <= x < 1 2 - x, & 1 <= x < 2
Igualando as expressões e resolvendo para os coeficientes Cn e Dn usando técnicas de séries de Fourier, obtemos os valores necessários para a solução completa.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
T(x, t) = -97x + 3 + sumn=1^infty [ Cn cos(raizlambdan2 x) + Dn sin(raizlambdan2 x) ] e^-lambdan t
onde os coeficientes Cn , Dn e os valores próprios lambdan são determinados a partir das condições iniciais e de contorno aplicadas.

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