Calcule a área abaixo do gráfico de f entre a e b, se:
f(x)=2-x^2, a=0, b=3

Passo 1

O enunciado pede a área entre o gráfico de f e o eixo x no intervalo de a=0 a b=3, tomando sempre valor positivo. A função dada é
f(x)=2 - x^2
Como essa área pode envolver parte positiva e parte negativa de f, vamos:
  1. Identificar onde f(x)=0 em [0,3].
  2. Calcular separadamente a área em que f(x)>=0 e em que f(x)<=0 usando integrais definidas.
  3. Somar as duas áreas (ambas positivas) para obter a área total.

Passo 2

Encontramos a raiz de f em [0,3]:
2 - x^2=0 Longrightarrow x^2=2 Longrightarrow x=raiz2
Logo, em [0,raiz2] temos f(x)>=0 e em [raiz2,3] temos f(x)<=0.

Passo 3

Área onde f(x)>=0, ou seja, de 0 a raiz2:
A1 =integral0^raiz2l(2 - x^2r),dx =l[,2x - tfracx^33r]0^raiz2 =2raiz2-(raiz2)^33 =2raiz2-2raiz23 =4raiz23

Passo 4

Área onde f(x)<=0, de raiz2 a 3. Tomamos o módulo da integral:
A2 =integralraiz2^3l[x^2-2r],dx =l[tfracx^33-2xr]raiz2^3 =l(9-6r)-l(tfrac2raiz23-2raiz2r) =3-l(tfrac2raiz23-tfrac6raiz23r) =3+4raiz23

Passo 5

Somando as duas áreas:
Atotal =A1+A2 =4raiz23+l(3+4raiz23r) =3+8raiz23 =9+8raiz23

Resposta

A área pedida é 9+8raiz23.

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