[2] (5,0 pontos) Determine o vetor posição de uma partícula, dada a sua aceleração e sua velocidade e posição incial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir o vetor posição de uma partícula sabendo a aceleração dela, além das condições iniciais de velocidade e posição. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integração, para passar da aceleração para a velocidade e, depois, para a posição.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade a partir da aceleração. Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Então, vamos integrar cada componente da aceleração:
Integrando componente por componente:
Isso resulta em:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a condição inicial da velocidade para encontrar a constante de integração
. Sabemos que
.
Substituindo
na expressão da velocidade:
Isso implica que:
Então, a expressão da velocidade fica:
Podemos simplificar:
Passo 4
Com a expressão da velocidade conhecida, agora vamos integrar novamente para encontrar a posição. A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:
Integrando cada termo:
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial da posição para encontrar a constante de integração
. Sabemos que
.
Substituindo
na expressão da posição:
Isso implica que
.
Então, a expressão final da posição é:
Resposta
O vetor posição da partícula é dado por: