[2] (5,0 pontos) Determine o vetor posição de uma partícula, dada a sua aceleração e sua velocidade e posição incial.
a(t)=i+e^t j+e^-t k, v(0)=k, r(0)=j+k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir o vetor posição de uma partícula sabendo a aceleração dela, além das condições iniciais de velocidade e posição. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integração, para passar da aceleração para a velocidade e, depois, para a posição.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade a partir da aceleração. Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Então, vamos integrar cada componente da aceleração:
a(t) = i + e^t j + e^-t k
Integrando componente por componente:
v(t) = integral a(t) , dt = integral i , dt + integral e^t j , dt + integral e^-t k , dt
Isso resulta em:
v(t) = t i + e^t j - e^-t k + C

Passo 3

Agora, vamos aplicar a condição inicial da velocidade para encontrar a constante de integração C. Sabemos que v(0) = k.
Substituindo t = 0 na expressão da velocidade:
v(0) = 0 i + e^0 j - e^0 k + C = j - k + C = k
Isso implica que:
C = -j + 2k
Então, a expressão da velocidade fica:
v(t) = t i + e^t j - e^-t k - j + 2k
Podemos simplificar:
v(t) = t i + (e^t - 1) j + (2 - e^-t) k

Passo 4

Com a expressão da velocidade conhecida, agora vamos integrar novamente para encontrar a posição. A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:
r(t) = integral v(t) , dt = integral t i , dt + integral (e^t - 1) j , dt + integral (2 - e^-t) k , dt
Integrando cada termo:
r(t) = t^22 i + (e^t - t) j + (2t + e^-t) k + D

Passo 5

Agora, aplicamos a condição inicial da posição para encontrar a constante de integração D. Sabemos que r(0) = j + k.
Substituindo t = 0 na expressão da posição:
r(0) = 0 i + (e^0 - 0) j + (0 + e^0) k + D = j + k + D = j + k
Isso implica que D = 0.
Então, a expressão final da posição é:
r(t) = t^22 i + (e^t - t) j + (2t + e^-t) k

Resposta

O vetor posição da partícula é dado por:
r(t) = t^22 i + (e^t - t) j + (2t + e^-t) k

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