Questão 10.

Encontre o domínio de definição da função f(x)=sumn=0^+infty n^nn! x^n.

Passo 1

O enunciado pede o domínio de definição da série de potências
f(x)=sumn=0^+inftyn^nn!x^n
Como é uma série de potências, o domínio é o conjunto de x em que a série converge. Vamos usar o teste da raiz e depois examinar os pontos de fronteira.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz: seja
an=n^nn!x^n,
então consideramos
limsupntoinftyraiz[n]lvert anrvert =limsupntoinfty(n^n)^1/n(n!)^1/n;lvert xrvert =limsupntoinftyn(n!)^1/n;lvert xrvert

Passo 3

Pela fórmula de Stirling temos
n!sim n^ne^-nraiz2pi n Longrightarrow (n!)^1/nsimne
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limsupntoinftyraiz[n]lvert anrvert =limntoinftynn/e,lvert xrvert =e,lvert xrvert
A série converge se elvert xrvert<1, isto é, para lvert xrvert<1/e, e diverge se lvert xrvert>1/e.

Passo 4

Agora examinamos os extremos lvert xrvert=1/e:
1. Para x=1/e o termo geral é
n^nn!l(tfrac1er)^n =n^ne^n,n! sim1raiz2pi n,
cujo somatório diverge (semelhante à série 1/raizn).
2. Para x=-1/e o termo geral torna-se
(-1)^nn^ne^n,n! sim(-1)^n1raiz2pi n,
uma série alternante de termos decrescentes em módulo a zero, logo converge (teste de Leibniz).

Passo 5

Juntando tudo, a série converge para -1/e<= x<1/e e diverge fora desse intervalo ou em x=1/e.

Resposta

Dom(f)=l[-tfrac1e,,tfrac1er)

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