(a) Encontre a solução geral da equação diferencial
e faça um esboço do gráfico de algumas soluções.
(b) Resolva o PVI
e faça um esboço do gráfico da solução.
(b) Resolva o PVI
Passo 1
O enunciado pede (a) a solução geral da equação diferencial
e um esboço de algumas curvas dessa família, e (b) a solução do problema de valor inicial
com o respectivo esboço. Trata-se de uma equação de primeira ordem linear não homogênea, em que vamos usar o fator integrante para encontrar a solução geral e depois aplicar a condição inicial.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão
válida para
. O fator integrante é
Multiplicamos toda a equação por
:
Passo 3
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 4
onde
é a constante de integração. Logo, a solução geral é
Passo 5
Passo 6
Para esboçar algumas soluções, note que cada curva é dada por
Quando
a curva tem um mínimo positivo; para
é simplesmente
; para
há ramificações onde
muda de sinal. Todas crescem como
para
e têm comportamento singular em
.
Passo 7
Agora resolvemos o PVI com
. Na forma geral
de onde
Substituindo em
, obtemos a solução particular:
Passo 8
Esse gráfico também cresce como
para
e tende a
quando
, passando por
.
Resposta
(a) A solução geral é
(b) A solução do PVI é