(a) Encontre a solução geral da equação diferencial
t d yd t+2 y=t^2
e faça um esboço do gráfico de algumas soluções.
(b) Resolva o PVI
l t d yd t+2 y=t^2, y(2)=3
e faça um esboço do gráfico da solução.

Passo 1

O enunciado pede (a) a solução geral da equação diferencial
tdydt+2y=t^2
e um esboço de algumas curvas dessa família, e (b) a solução do problema de valor inicial
tdydt+2y=t^2, y(2)=3,
com o respectivo esboço. Trata-se de uma equação de primeira ordem linear não homogênea, em que vamos usar o fator integrante para encontrar a solução geral e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão
dydt+2ty=t,
válida para tneq0. O fator integrante é
mu(t)=expl(integral2t,dtr)=expl(2ln|t|r)=t^2
Multiplicamos toda a equação por mu(t)=t^2:

Passo 3

t^2dydt+2t,y=t^3 Longrightarrow ddtl(t^2yr)=t^3
Agora integramos ambos os lados em relação a t:

Passo 4

t^2y=integral t^3,dt=t^44+C,
onde C é a constante de integração. Logo, a solução geral é

Passo 5

y(t)=t^24+Ct^2

Passo 6

Para esboçar algumas soluções, note que cada curva é dada por
y(t)=t^24+Ct^2
Quando C>0 a curva tem um mínimo positivo; para C=0 é simplesmente y=t^2/4; para C<0 há ramificações onde y muda de sinal. Todas crescem como t^2/4 para ttoinfty e têm comportamento singular em t=0.

Passo 7

Agora resolvemos o PVI com y(2)=3. Na forma geral
y(2)=2^24+C2^2=1+C4=3
de onde
C4=2 Longrightarrow C=8
Substituindo em y(t), obtemos a solução particular:

Passo 8

y(t)=t^24+8t^2
Esse gráfico também cresce como t^2/4 para ttoinfty e tende a +infty quando tto0, passando por (2,3).

Resposta

(a) A solução geral é
y(t)=t^24+Ct^2, CinR
(b) A solução do PVI é
y(t)=t^24+8t^2

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