Verifique se as equações diferenciais de primeira ordem abaixo são lineares ou não, para as que forem lineares resolva o problema de valor inicial dado.
lt y^prime+2 y=t^2-t+1 y(1)=12, t>0

Passo 1

Vamos verificar se a equação diferencia para o valor inicial é linear e, em caso afirmativo, resolvê-la usando fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo a equação dada temos
y' + 2t,y = t - 1 + 1t, t>0
Isso mostra que é uma EDO de primeira ordem e linear, com
p(t)=2t, g(t)=t-1+1t

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(t)=expl(integral p(t),dtr)=expl(integral 2t,dtr)=exp(2ln t)=t^2

Passo 4

Multiplicando a equação por mu(t)=t^2 obtemos
t^2 y' + 2t y = t^3 - t^2 + t
e reconhecemos que o lado esquerdo é
ddt(t^2 y)=t^3 - t^2 + t
Agora integramos ambos os lados em relação a t:
t^2 y = integral (t^3 - t^2 + t),dt = t^44-t^33+t^22+C

Passo 5

Isolando y obtemos a solução geral
y(t)=t^24-t3+12 + C,t^-2

Passo 6

Aplicando a condição inicial y(1)=tfrac12:
14-13+12 + C = 12
Isso dá
C=112
Logo a solução particular é
y(t)=t^24-t3+12 + 112,t^2

Resposta

y(t)=\frac{t2}{4}-\frac{t}{3}+\frac12+\frac{1}{12,t2}

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