Questão 4.
Determine o domínio da função f dada por f(x)=lim n +infty x^2 n(1-x^2 n). Qual o valor de f para cada x pertencente ao domínio de f ?

Passo 1

O enunciado define a função f por
f(x)=limnto+inftyx^2nl(1-x^2nr)
Precisamos achar o domínio de f (os xinR em que esse limite existe como número real finito) e, para cada x no domínio, calcular f(x).

Passo 2

Para entender o limite, analisamos o comportamento de x^2n quando ntoinfty. Vale lembrar que:
1. Se lvert xrvert<1, então
limntoinftyx^2n=0.
2. Se lvert xrvert=1, então
limntoinftyx^2n=1.
3. Se lvert xrvert>1, então
limntoinftyx^2n=+infty.

Passo 3

Agora substituímos na expressão de f(x) em cada caso:
1. Para lvert xrvert<1:
f(x)=limntoinftyx^2n(1-x^2n) =0cdot(1-0)=0
2. Para lvert xrvert=1:
x^2n=1forall n, f(x)=1cdot(1-1)=0
3. Para lvert xrvert>1:
x^2n(1-x^2n)=x^2n-x^4nto -infty,
logo o limite não converge a um número real finito.

Passo 4

Concluímos que o limite existe e é finito exatamente quando lvert xrvert<=1. Nesse caso, sempre f(x)=0.

Resposta

O domínio de f é xinR:lvert xrvert<=1 e, para todo x nesse domínio, vale
f(x)=0

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