Questão 4. ( 2,0 pontos) Seja
uma reta no plano
que passa pelo ponto
e é paralela à reta
.
(a) ( 0,8 ponto) Determine o vetor diretor e o vetor normal associado a reta
;
(b) (1,2 pontos) Forneça as equações vetorial, paramétrica, cartesiana e afim da reta
.
(a) ( 0,8 ponto) Determine o vetor diretor e o vetor normal associado a reta
(b) (1,2 pontos) Forneça as equações vetorial, paramétrica, cartesiana e afim da reta
Passo 1
O enunciado pede a reta
que passa por
e é paralela à reta
dada por
O conteúdo envolvido é a geometria analítica de retas: para obter a reta procurada, vamos usar o fato de que retas paralelas têm o mesmo vetor diretor, e daí determinar também o vetor normal. Em seguida, construiremos as quatro formas de equação pedidas.
Passo 2
A reta
tem coeficiente angular
. Um vetor diretor
de
pode ser escolhido como
pois a inclinação
coincide. Um vetor normal
satisfaz
; por exemplo,
já que
.
Passo 3
A equação vetorial de
usa o ponto
e o vetor diretor
. Assim, para
,
Passo 4
Da forma vetorial decorre a forma paramétrica, basta escrever coordenada a coordenada:
Passo 5
A forma cartesiana surge de
, ou seja,
que simplifica para
Passo 6
Finalmente, a equação afim (forma explícita
) obtém-se isolando
em
:
Resposta
(a)
e
.
(b)
(b)