Questão 4. ( 2,0 pontos) Seja r uma reta no plano \mathbb{R}^{2} que passa pelo ponto A=(2,4) e é paralela à reta s: y=3 x+4.
(a) ( 0,8 ponto) Determine o vetor diretor e o vetor normal associado a reta r;
(b) (1,2 pontos) Forneça as equações vetorial, paramétrica, cartesiana e afim da reta r.

Passo 1

O enunciado pede a reta r\subset\mathbb{R}^2 que passa por A=(2,4) e é paralela à reta s dada por
y=3x+4.
O conteúdo envolvido é a geometria analítica de retas: para obter a reta procurada, vamos usar o fato de que retas paralelas têm o mesmo vetor diretor, e daí determinar também o vetor normal. Em seguida, construiremos as quatro formas de equação pedidas.

Passo 2

A reta s tem coeficiente angular m=3. Um vetor diretor \mathbf{d} de r pode ser escolhido como
\mathbf{d} = (1,\,3),
pois a inclinação \Delta y/\Delta x=3 coincide. Um vetor normal \mathbf{n} satisfaz \mathbf{n}\cdot\mathbf{d}=0; por exemplo,
\mathbf{n} = (3,\,-1),
já que 3\cdot1+(-1)\cdot3=0.

Passo 3

A equação vetorial de r usa o ponto A e o vetor diretor \mathbf{d}. Assim, para t\in\mathbb{R},
\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\\ 4\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 4

Da forma vetorial decorre a forma paramétrica, basta escrever coordenada a coordenada:
\begin{cases} x = 2 + t,\\\ y = 4 + 3t. \end{cases}

Passo 5

A forma cartesiana surge de \mathbf{n}\cdot\bigl((x,y)-A\bigr)=0, ou seja,
3\,(x-2)\;-\;(y-4)=0
que simplifica para
3x - y - 2 = 0.

Passo 6

Finalmente, a equação afim (forma explícita y = ax + b) obtém-se isolando y em 3x - y - 2 = 0:
y = 3x - 2.

Resposta

(a) \mathbf{d}=(1,3) e \mathbf{n}=(3,-1).
(b)
\displaystyle \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\\ 4\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix},\\ t\in\mathbb{R}.
\displaystyle x = 2 + t,\quad y = 4 + 3t.
\displaystyle 3x - y - 2 = 0.
\displaystyle y = 3x - 2.

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