[20 pontos ] Encontre a solução do p.v.i. y^{\prime \prime}+4 y=4 \cos (2 x), y(0)=1, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 4y = 4\cos(2x),\quad y(0)=1,\;y'(0)=0.
Isso é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento trigonométrico. Vamos usar as soluções da equação homogênea e o método dos coeficientes indeterminados (observando que aqui há ressonância, pois a frequência da forçante coincide com a da homogênea).

Passo 2

Escrevemos a solução geral da parte homogênea
y_h'' + 4y_h = 0.
A equação característica é r^2 + 4 = 0, com raízes r = \pm 2i. Logo
y_h(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x).

Passo 3

Como a forçante é 4\cos(2x), cujo termo \cos(2x) faz parte de y_h, temos ressonância. Assim, tentamos um particular da forma
y_p(x) = A\,x\sin(2x).

Passo 4

Calculamos y_p''+4y_p. Primeiro,
y_p' = A\sin(2x) + 2A x\cos(2x),
y_p'' = 2A\cos(2x) + 2A\cos(2x) -4A x\sin(2x) = 4A\cos(2x) -4A x\sin(2x).
Então
y_p'' + 4y_p = \bigl[4A\cos(2x) -4A x\sin(2x)\bigr] + 4\bigl[A x\sin(2x)\bigr] = 4A\cos(2x).
Para igualar a 4\cos(2x), basta 4A=4, ou seja A=1. Portanto
y_p(x) = x\sin(2x).

Passo 5

A solução geral do EDO é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + x\sin(2x).
Agora impomos as condições iniciais.

Passo 6

Em x=0:
y(0) = C_1\cos0 + C_2\sin0 + 0\cdot\sin0 = C_1 = 1.
Derivando,
y'(x) = -2C_1\sin(2x) + 2C_2\cos(2x) + \bigl[\sin(2x)+2x\cos(2x)\bigr].
Em x=0:
y'(0) = 0 + 2C_2\cdot1 + [0 + 0] = 2C_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = 0.

Resposta

A solução do p.v.i. é
y(x) = \cos(2x) + x\sin(2x).

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