[2,5 pontos ] Encontre a solução do sistema de equações diferenciais dado por
\left\{\begin{array}{l} \dot{x}=3 x-4 y \\\ \dot{y}=x-y \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de coeficientes constantes
\dot{x}=3x-4y, \qquad \dot{y}=x-y
que podemos escrever em forma matricial como
\dot{X} = A\,X, \quad X=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, \quad A=\begin{pmatrix}3 & -4\\[6pt]1 & -1\end{pmatrix}.
O conteúdo a usar é a resolução por valores e vetores próprios, incluindo caso de valor próprio duplo.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}3-\lambda & -4\\[3pt]1 & -1-\lambda\end{pmatrix} =(3-\lambda)(-1-\lambda)-(-4)\cdot1.
Expandindo,
(3-\lambda)(-1-\lambda)+4 =-(3-\lambda)(\lambda+1)+4 =\lambda^2-2\lambda+1 =(\lambda-1)^2.
Logo há valor próprio único \lambda=1 de multiplicidade algébrica 2.]

Passo 3

Para achar o(s) vetor(es) próprio(s), resolvemos
(A-I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}2 & -4\\[3pt]1 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
A primeira equação dá 2u-4v=0\implies u=2v. Podemos escolher v=1, então um vetor próprio é
v_1=\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.
]

Passo 4

Como a multiplicidade geométrica é 1, precisamos de um vetor próprio generalizado v_2 tal que
(A-I)v_2 = v_1.
Isto é
\begin{pmatrix}2 & -4\\[3pt]1 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.
A equação 2a-4b=2 a-2b=1, mesma equação da segunda linha. Tomando b=0 resulta a=1. Assim
v_2=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.
]

Passo 5

A solução geral para valor próprio repetido é
X(t) =e^{\lambda t}\bigl(C_1\,v_1 + C_2\,(v_1\,t + v_2)\bigr),
com \lambda=1. Substituindo v_1 e v_2:
X(t) =e^{t}\Bigl(C_1\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} + C_2\Bigl(t\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}\Bigr)\Bigr).
Separando componentes,
x(t)=\bigl(2C_1 + C_2(2t+1)\bigr)e^{t}, \qquad y(t)=\bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{t}.

Resposta

x(t)=\bigl(2C_1 + C_2(2t+1)\bigr)e^{t},\quad y(t)=\bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{t}.

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