QUESTÃO 2. Uma partícula movimenta-se ao longo do eixo x de acordo com a função horária da posição x=e^{-2 t} \cdot t, onde t é o tempo em segundos. A posição, em m, que a partícula está parada a partir do inicio do movimento é
a) 0
b) \frac{1}{2 \mathrm{e}}
c) \frac{1}{\mathrm{e}}
d) e^{2}
e) -\frac{1}{2 \mathrm{e}}

Passo 1

O enunciado diz que a posição da partícula ao longo do eixo x é dada por
x(t)=t\,e^{-2t},
com t em segundos. Queremos a posição onde a partícula fica instantaneamente parada, ou seja, onde a velocidade v(t)=x'(t) se anula.

Passo 2

Vamos calcular a velocidade como derivada de x(t). Usando a regra do produto para x(t)=t\cdot e^{-2t}, temos
v(t)=x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t\bigr)\,e^{-2t}+t\,\frac{d}{dt}\bigl(e^{-2t}\bigr) =e^{-2t}+t\bigl(-2e^{-2t}\bigr) =e^{-2t}\bigl(1-2t\bigr).

Passo 3

Para achar o instante de repouso, impomos v(t)=0:
e^{-2t}(1-2t)=0.
Como e^{-2t}\neq0 para todo t, fica 1-2t=0, logo
t=\tfrac12\text{ s}.

Passo 4

Basta então avaliar x(t) em t=\tfrac12:
x\bigl(\tfrac12\bigr) =\tfrac12\,e^{-2\cdot\frac12} =\tfrac12\,e^{-1} =\frac{1}{2e}.

Resposta

b) \displaystyle \frac{1}{2e}

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