[5 pontos] Considere o sistema de equações diferenciais dado por
Responda as seguintes questōes:
(a) [ 2,5 de 5 pontos] Encontre a solução da parte homogênea do sistema.
(b) [ 1 de 5 pontos] Utilizando o método dos coeficientes indeterminados, encontre uma soluçāo particular do sistema.
(c)
de 5 pontos
Utilizando o método da variação dos parâmetros, encontre uma solução particular do sistema.
(a) [ 2,5 de 5 pontos] Encontre a solução da parte homogênea do sistema.
(b) [ 1 de 5 pontos] Utilizando o método dos coeficientes indeterminados, encontre uma soluçāo particular do sistema.
(c)
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema
que é um sistema linear não-homogêneo de primeira ordem. Vamos obter a solução geral somando a solução da parte homogênea (item (a)) com uma solução particular obtida pelos métodos de coeficientes indeterminados (item (b)) e de variação de parâmetros (item (c)).
Passo 2
Para a parte homogênea escrevemos
O polinômio característico é
de onde
Passo 3
Para
resolvemos
escolhendo
. Para
temos
escolhendo
. Logo a solução homogênea é
Passo 4
Pelo método dos coeficientes indeterminados buscamos uma solução particular constante
Isso gera o sistema
cuja solução é
. Portanto
Passo 5
Pelo método da variação de parâmetros usamos a matriz fundamental
Calculamos
e
:
Integrando e escolhendo constantes zero (absorvidas em
), obtemos
Então
confirmando a mesma solução particular.
Resposta
(a)
\n(b)
\n(c)