[2,5 pontos] Utilizando a transformada de Laplace, resolva o PVI
y^{\prime}+4 y=2 e^{2 t}, \quad y(0)=1
Observação: soluções que não utilizem a transformada de Laplace não serão consideradas.

Passo 1

O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace o problema de valor inicial
y'(t) + 4y(t) = 2e^{2t},\quad y(0)=1.
O conteúdo principal é a transformada de Laplace para derivadas e para exponenciais, usando
\mathcal{L}\{y'\}(s) = sY(s) - y(0), \qquad \mathcal{L}\{e^{at}\}(s) = \frac{1}{s - a}.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de
y' + 4y = 2e^{2t}.
Isso dá
\bigl[sY(s)-y(0)\bigr] + 4Y(s) = 2 \cdot \frac{1}{s-2}.
Como y(0)=1, obtemos
(sY(s)-1) + 4Y(s) = \frac{2}{s-2}.

Passo 3

Reorganizando para Y(s), vem
(s+4)Y(s) - 1 = \frac{2}{s-2} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{1}{s+4} + \frac{2}{(s-2)(s+4)}.
Fazemos frações parciais em \frac{2}{(s-2)(s+4)}:
\frac{2}{(s-2)(s+4)} = \frac{A}{s-2} + \frac{B}{s+4},
com 2 = A(s+4) + B(s-2).
Para s=2 vem 2=6A\Rightarrow A=\tfrac{1}{3}.
Para s=-4 vem 2=-6B\Rightarrow B=-\tfrac{1}{3}.
Logo
Y(s) = \frac{1}{s+4} + \frac{1}{3}\,\frac{1}{s-2} - \frac{1}{3}\,\frac{1}{s+4} = \frac{2/3}{s+4} + \frac{1/3}{s-2}.

Passo 4

Invertemos a transformada de Laplace termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{2/3}{s+4}\Bigr\} = \frac{2}{3}e^{-4t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1/3}{s-2}\Bigr\} = \frac{1}{3}e^{2t}.
Somando, achamos
y(t) = \frac{2}{3}e^{-4t} + \frac{1}{3}e^{2t}.

Resposta

y(t) = \frac{2}{3}e^{-4t} + \frac{1}{3}e^{2t}.

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