Questão 2: ( 2,0 pontos)
Calcule a integral
\int \frac{-4 x^{3}}{2 x^{3}+x^{2}-2 x-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{-4x^{3}}{2x^{3}+x^{2}-2x-1}\,dx.
Trata-se de uma função racional; vamos usar divisão de polinômios para reduzir o grau do numerador e depois decompor em frações parciais.

Passo 2

Fazemos a divisão
\frac{-4x^{3}}{2x^{3}+x^{2}-2x-1} = -2 + \frac{2x^{2}-4x-2}{2x^{3}+x^{2}-2x-1},
logo
\int \frac{-4x^{3}}{2x^{3}+x^{2}-2x-1}\,dx = \int (-2)\,dx + \int \frac{2x^{2}-4x-2}{2x^{3}+x^{2}-2x-1}\,dx.

Passo 3

Fatoramos o denominador na segunda integral:
2x^{3}+x^{2}-2x-1 = (2x+1)(x-1)(x+1).
Então escrevemos
\frac{2x^{2}-4x-2}{2x^{3}+x^{2}-2x-1} = \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}.

Passo 4

Multiplicando por (2x+1)(x-1)(x+1) e igualando coeficientes, obtemos
A=-\tfrac13,\quad B=-\tfrac13,\quad C=1.
Logo
\frac{2x^{2}-4x-2}{2x^{3}+x^{2}-2x-1} = -\tfrac13\frac{1}{2x+1} -\tfrac13\frac{1}{x-1} +\frac{1}{x+1}.

Passo 5

Substituindo na integral remanescente:
\int \frac{2x^{2}-4x-2}{2x^{3}+x^{2}-2x-1}\,dx = \int\Bigl(-\tfrac13\frac{1}{2x+1} -\tfrac13\frac{1}{x-1} +\frac{1}{x+1}\Bigr)\,2\,dx = \int\Bigl(-\tfrac23\frac{1}{2x+1} -\tfrac23\frac{1}{x-1} +\frac{2}{x+1}\Bigr)\,dx.
Agora integramos termo a termo:
\int -2\,dx = -2x, \quad \int -\tfrac23\,\frac{dx}{2x+1} = -\tfrac23\cdot\tfrac12\ln|2x+1| = -\tfrac13\ln|2x+1|,
\int -\tfrac23\,\frac{dx}{x-1} = -\tfrac23\ln|x-1|, \quad \int \frac{2}{x+1}\,dx = 2\ln|x+1|.

Resposta

-2x - \tfrac13\ln\bigl|2x+1\bigr| - \tfrac23\ln\bigl|x-1\bigr| + 2\ln\bigl|x+1\bigr| + C.

Exercícios relacionados