[3,0 pontos] (1) Considere a função f(x, y)=2 x^{3}+2 y^{3}-3 x^{2}+3 y^{2}-36 x-36 y+1, o ponto P=(1,-1) e o vetor \vec{v}=\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{4}\right).
(a) Ao sair do ponto P na direção de \vec{v}, f aumenta ou diminui? Com que taxa?
(b) A partir do ponto P, qual é a direção de maior crescimento? Qual é essa taxa?
(c) Encontre os pontos críticos de f e classifique-os.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=2x^{3}+2y^{3}-3x^{2}+3y^{2}-36x-36y+1,
o ponto P=(1,-1) e o vetor \vec v=\bigl(-\tfrac13,\tfrac14\bigr).
(a) Pede-se saber se f aumenta ou diminui saindo de P em direção a \vec v e com que taxa. Para isso vamos calcular a derivada direcional em P.
(b) Pede-se a direção de maior crescimento em P e a taxa dessa maior taxa, que vêm do gradiente de f.
(c) Pede-se os pontos críticos de f e sua classificação, que fazemos com o sistema \nabla f=0 e a matriz Hessiana.

Passo 2

Calculemos o gradiente de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=6x^{2}-6x-36, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=6y^{2}+6y-36.
Em P=(1,-1) isso vale
\nabla f(1,-1)=\bigl(6\cdot1^{2}-6\cdot1-36,\;6\cdot(-1)^{2}+6\cdot(-1)-36\bigr)=(-36,\,-36).

Passo 3

Para (a) precisamos da derivada direcional em \vec v. Primeiro a unidade em \vec v:
\|\vec v\|=\sqrt{\bigl(-\tfrac13\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac14\bigr)^{2}} =\frac{5}{12}, \quad \mathbf u=\frac{\vec v}{\|\vec v\|}=\Bigl(-\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\Bigr).
Logo a derivada direcional é
D_{\mathbf u}f(1,-1)=\nabla f(1,-1)\cdot\mathbf u =(-36)\Bigl(-\tfrac{4}{5}\Bigr)+(-36)\Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr) =\frac{36}{5}.
Como é positivo, f aumenta nessa direção, com taxa \tfrac{36}{5}.

Passo 4

Para (b) a direção de maior crescimento em P é a direção do gradiente \nabla f(1,-1)=(-36,-36). O versor nessa direção é
\mathbf e=\frac{1}{\sqrt{(-36)^{2}+(-36)^{2}}}(-36,-36) =\bigl(-\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac1{\sqrt2}\bigr),
e a taxa máxima é o módulo do gradiente,
\|\nabla f(1,-1)\|=36\sqrt2.

Passo 5

Para (c) achamos os críticos resolvendo
6x^{2}-6x-36=0,\quad 6y^{2}+6y-36=0
ou seja
x^{2}-x-6=0\implies x=3,\,-2, \qquad y^{2}+y-6=0\implies y=2,\,-3.
Assim há quatro pontos críticos:
(3,2), (3,-3), (-2,2), (-2,-3).

Passo 6

A Hessiana de f é diagonal:
H(x,y)=\begin{pmatrix} 12x-6 & 0\\\\ 0 & 12y+6 \end{pmatrix}.
Em cada ponto crítico:
  • Em (3,2): 12 \cdot 3 - 6 = 30 > 0, 12 \cdot 2 + 6 = 30 > 0 \Rightarrow mínimo local.
  • Em (3,-3): 30 > 0, 12 \cdot (-3) + 6 = -30 < 0 \Rightarrow sela.
  • Em (-2,2): 12 \cdot (-2) - 6 = -30 < 0, 30 > 0 \Rightarrow sela.
  • Em (-2,-3): -30 < 0, -30 < 0 \Rightarrow máximo local.

Resposta

(a) f aumenta na direção de \vec v com taxa 36/5.
(b) A direção de maior crescimento é \bigl(-1/\sqrt2,\,-1/\sqrt2\bigr) e a taxa máxima é 36\sqrt2.
(c) Pontos críticos: (3,2) mínimo local; (3,-3) e (-2,2) pontos de sela; (-2,-3) máximo local.

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