[3,0 pontos] (1) Considere a função f(x, y)=2 x^{3}+2 y^{3}-3 x^{2}+3 y^{2}-36 x-36 y+1, o ponto P=(1,-1) e o vetor \vec{v}=\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{4}\right).
(a) Ao sair do ponto P na direção de \vec{v}, f aumenta ou diminui? Com que taxa?
(b) A partir do ponto P, qual é a direção de maior crescimento? Qual é essa taxa?
(c) Encontre os pontos críticos de f e classifique-os.
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x,y)=2x^{3}+2y^{3}-3x^{2}+3y^{2}-36x-36y+1,
o ponto P=(1,-1) e o vetor \vec v=\bigl(-\tfrac13,\tfrac14\bigr).
(a) Pede-se saber se f aumenta ou diminui saindo de P em direção a \vec v e com que taxa. Para isso vamos calcular a derivada direcional em P.
(b) Pede-se a direção de maior crescimento em P e a taxa dessa maior taxa, que vêm do gradiente de f.
(c) Pede-se os pontos críticos de f e sua classificação, que fazemos com o sistema \nabla f=0 e a matriz Hessiana.
(a) f aumenta na direção de \vec v com taxa 36/5.
(b) A direção de maior crescimento é \bigl(-1/\sqrt2,\,-1/\sqrt2\bigr) e a taxa máxima é 36\sqrt2.
(c) Pontos críticos: (3,2) mínimo local; (3,-3) e (-2,2) pontos de sela; (-2,-3) máximo local.