A integral indefinida \int\left(\frac{3}{x}+\cos (5 x)\right) d x é igual a

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\Bigl(\frac{3}{x}+\cos(5x)\Bigr)\,dx
Este é um exercício de cálculo (antiderivadas), onde vamos usar a linearidade da integral e as fórmulas básicas
\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x| e \displaystyle \int \cos(ax)\,dx=\frac{1}{a}\sin(ax).

Passo 2

Aplicamos a propriedade de soma da integral:
\int\Bigl(\frac{3}{x}+\cos(5x)\Bigr)\,dx =\int \frac{3}{x}\,dx \;+\;\int \cos(5x)\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int \frac{3}{x}\,dx, fatoramos o 3:
\int \frac{3}{x}\,dx =3\int \frac{1}{x}\,dx =3\ln\lvert x\rvert.

Passo 4

Para \displaystyle \int \cos(5x)\,dx, usamos a regra da constante a=5:
\int \cos(5x)\,dx =\frac{1}{5}\sin(5x).

Passo 5

Somando os resultados e acrescentando a constante de integração C, obtemos
3\ln\lvert x\rvert + \frac{1}{5}\sin(5x) + C.

Resposta

3\ln\lvert x\rvert + \frac{1}{5}\sin(5x) + C

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