[3.0 pontos] Considere a matriz a seguir:
A=[rrr 1 & 1 & 1 a & b & c a^2 & b^2 & c^2 ]
(a) Mostre que o determinante de A é (a-b)(b-c)(c-a).
103 ( 01 ) (2) Seja A a matriz obtida substituindo-se a=4, b=2 e c=1, encontre a solução do sistema A X=B, em que X=[lx y z] e B=[l1 0 2], por meio da regra de Cramer.
(b) Para os valores particulares de a=4, b=2 e c=1 podemos afirmar que a matriz A possui inversa? No caso afirmativo obtenha a inversa de A.
Boa Prova!

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
e pede: (i) mostrar que ; (ii) para resolver por Cramer, onde
(iii) para esses valores ver se é invertível e, em caso afirmativo, encontrar .

Passo 2

Para calcular det(A) usamos operações de coluna. Subtraímos a primeira coluna das colunas segunda e terceira:
C2 C2-C1, C3 C3-C1
Fica
det(A) =det 1 & 0 & 0 a & b-a & c-a a^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2 =1cdotdetb-a & c-a b^2-a^2 & c^2-a^2
Como b^2-a^2=(b-a)(b+a) e c^2-a^2=(c-a)(c+a), o determinante 2times2 vale
(b-a)(c^2-a^2)-(c-a)(b^2-a^2) =(b-a)(c-a)(c+a)-(c-a)(b-a)(b+a) =(b-a)(c-a)(c-b)
Logo
det(A)=(b-a)(c-a)(c-b)
Reordenando fatores (multiplicação é comutativa) obtemos
det(A)=(a-b)(b-c)(c-a)

Passo 3

Agora tomamos a=4, b=2, c=1. Então
A= 1&1&14&2&116&4&1 , det(A)=(4-2)(2-1)(1-4)=2cdot1cdot(-3)=-6neq0
Pela regra de Cramer, escrevemos De<a=det(A)=-6 e calculamos:
De<ax =det1&1&10&2&12&4&1 =-4, De<ay =det1&1&14&0&116&2&1 =18, De<az =det1&1&14&2&016&4&2 =-20
Então
x=De<axDe<a=-4-6=23, y=De<ayDe<a=18-6=-3, z=De<azDe<a=-20-6=103

Passo 4

Como det(A)=-6neq0, A é invertível. Para achar A^-1 calculamos as colunas de A^-1 como as soluções de A,u=e1, A,v=e2, A,w=e3. Aplicando Cramer aos vetores direito e1,e2,e3 obtemos
A^-1=1-6 -2 & 1 & -1 12 & -9 & 3 -16 & 12 & -2 = tfrac13 & -tfrac16 & tfrac16 -2 & tfrac32 & -tfrac12 tfrac83 & -2 & tfrac13

Resposta

(a) .\n(b) Para a solução de é \n(c) Como , é invertível e\n

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