Seja V um espaço euclidiano. Prove que:
lang<= v, 0Vrang<==lang<= 0V, vrang<==0, para todo v in V.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço euclidiano V com produto interno lang<=cdot,cdotrang<=, temos
lang<= v,0Vrang<= = lang<= 0V,vrang<= = 0
para todo vin V. Vamos usar as propriedades de linearidade em cada argumento e a simetria do produto interno.

Passo 2

Como 0V é o elemento neutro da soma, vale
0V+0V=0V
Pela linearidade em segundo argumento,
lang<= v,0Vrang<= =lang<= v,0V+0Vrang<= =lang<= v,0Vrang<=+lang<= v,0Vrang<= =2,lang<= v,0Vrang<=
Subtraindo lang<= v,0Vrang<= de ambos os lados, obtemos
0=lang<= v,0Vrang<=

Passo 3

Pela simetria do produto interno,
lang<= 0V,vrang<= =lang<= v,0Vrang<= =0

Resposta

Portanto, para todo vin V,
lang<= v,0Vrang<= =lang<= 0V,vrang<= =0

Exercícios relacionados