[2,0 pontos] Obtenha a equação geral do plano determinado pelas retas r:(x-1) / 3=(y-5) / 3=(z+2) / 5 e s: x=-y=(z-1) / 4.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano determinado pelas retas r e s. Precisamos representar cada reta de forma paramétrica, verificar que elas se intersectam num ponto, obter dois vetores diretores e, por fim, calcular o vetor normal ao plano usando produto vetorial.

Passo 2

Para r, da relação
x-13=y-53=z+25=t
seguem as equações paramétricas x=1+3t, y=5+3t, z=-2+5t e o vetor diretor vec v=(3,3,5).
Para s, da relação
x=-y=z-14=k
temos x=k, y=-k, z=1+4k e o vetor diretor vec w=(1,-1,4).

Passo 3

Igualando as expressões para x e y obtenho
1+3t=k, 5+3t=-k
Substituindo k=1+3t na segunda vem
5+3t=-(1+3t)implies 6t=-6implies t=-1,
logo k=1+3(-1)=-2. Em z temos -2+5(-1)=-7 e 1+4(-2)=-7, confirmando o ponto de interseção
P(-2,2,-7)

Passo 4

O vetor normal ao plano é dado por
vec n=vec vtimesvec w = i&j&k 3&3&5 1&-1&4 =(17,,-7,,-6)

Passo 5

Na forma ponto-normal, usando P(-2,2,-7) e vec n=(17,-7,-6), a equação do plano é
17(x+2)-7(y-2)-6(z+7)=0
Expandindo, obtém-se
17x-7y-6z+6=0

Resposta

A equação geral do plano é
17x-7y-6z+6=0

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