a) passa pelo ponto D(1,-1,2) e é ortogonal ao vetor v=(2,-3,1);
b) possui o ponto A(1,-2,1) e é paralelo aos vetores a=i+j-k e b=i+j-2 k;
c) passa pelos pontos A(-2,1,0), B(-1,4,2) e C(0,-2,2);
d) passa pelos pontos P(-2,1,0), Q(-1,4,2) e R(0,-2,2);
e) passa pelos pontos A(2,1,5), B(-3,-1,3) e C(4,2,3);
f) passa pelo ponto E(1,2,2) e contém os vetores v=(2,-1,1) e w=(-3,1,-2);
g) possui o ponto P(2,-1,3) e é paralelo ao plano XOZ;
h) contém as retas r: x-73=y-22=z-1-2 e s: x-12=y+2-3=z-54;
i) contém as retas r: x2=y+1=z+3 e s: x+14=y-22=z2;
j) que contém as retas r:lx=-3+t y=-t z=4 e s: x+22=y-2-2, z=0;
k) contém as retas rly=2 x+3 z=3 x-1 e s: x-12=y-1=z4;
I) passa pela reta x-12=y2=z-1 e é paralelo à reta x-32=y-2-1=z-44
RESP: a) pi: 2 x-3 y+z-7=0
b) pi: x-y-z=0
c) pi: 12 x+2 y-9 z+22=0
d) pi: 12 x+2 y-9 z+22=0
e) pi: 6 x-14 y-z+7=0
f) pi: x+y-z-5=0
g) pi: y+1=0
h) pi: 2 x-16 y-13 z+31=0
i) pi: y-z-2=0
j) pi: 4 x+4 y+3 z=0
k) pi: 11 x+2 y-5 z-11=0
I) pi: 3 x-2 y-2 z-1=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar as equações de diversos planos em R^3 sujeitos a condições como: conter um ponto e ser ortogonal a um vetor, conter um ponto e ser paralelo a dois vetores, passar por três pontos, ser paralelo a um plano coordenado, ou ainda conter duas retas dadas. O conteúdo é Geometria Analítica em R^3. Para cada caso, precisamos obter um vetor normal n=(A,B,C) do plano e usar a forma
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,
onde (x0,y0,z0) é um ponto conhecido do plano.

Passo 2

Plano dado por ponto e vetor normal
Se o enunciado diz que o plano passa por P0=(x0,y0,z0) e é ortogonal a v=(v1,v2,v3), então n=v e a equação é
v1(x-x0)+v2(y-y0)+v3(z-z0)=0

Passo 3

Aplicando ao item (a)
Ponto D=(1,-1,2) e vetor v=(2,-3,1) é normal. Logo
2(x-1)-3(y+1)+1(z-2)=0 ;Longrightarrow; 2x-2-3y-3+z-2=0 ;Longrightarrow; 2x-3y+z-7=0

Passo 4

Plano dado por ponto e paralelo a dois vetores
Se o plano contém P0 e é paralelo a a e b, então o normal n=atimesb. Em seguida usa-se a fórmula do passo 1.

Passo 5

Aplicando aos itens (b) e (f)
(b) P0=(1,-2,1), a=(1,1,-1), b=(1,1,-2):
n=atimesb =(-1,1,0) ;Longrightarrow; -1(x-1)+1(y+2)+0(z-1)=0 ;Longrightarrow; -x+1+y+2=0 ;Longrightarrow; x-y-3=0
(f) P0=(1,2,2), v=(2,-1,1), w=(-3,1,-2):
n=vtimesw =(1,1,-1) ;Longrightarrow; 1(x-1)+1(y-2)-1(z-2)=0 ;Longrightarrow; x+y-z-1=0

Passo 6

Plano por três pontos
Se o plano passa por A,B,C, calcule
u=B-A, v=C-A, n=utimesv e use o ponto A.

Passo 7

Aplicando aos itens (c), (d) e (e)
(c),(d) A=(-2,1,0), B=(-1,4,2), C=(0,-2,2):
u=(1,3,2), v=(2,-3,2),
n=(12,2,-9). Com A:
12(x+2)+2(y-1)-9(z-0)=0 ;Longrightarrow; 12x+2y-9z+22=0
(e) A=(2,1,5), B=(-3,-1,3), C=(4,2,3):
u=(-5,-2,-2), v=(2,1,-2),
n=(6,-14,-1). Com A:
6(x-2)-14(y-1)-1(z-5)=0 ;Longrightarrow; 6x-14y-z+7=0

Passo 8

Plano paralelo ao plano XOZ
O plano XOZ tem normal (0,1,0). Se o plano é paralelo a ele, também terá n=(0,1,0). Basta usar o ponto dado.

Passo 9

Aplicando ao item (g)
P=(2,-1,3), n=(0,1,0).
0(x-2)+1(y+1)+0(z-3)=0 ;Longrightarrow; y+1=0

Passo 10

Plano que contém duas retas
Se as retas têm direções d1,d2, então n=d1timesd2. Basta conhecer um ponto em qualquer uma delas para obter a equação.

Passo 11

Aplicando aos itens (h), (i), (j), (k) e (I)
(h)
dr=(3,2,-2), ds=(2,-3,4), n=(2,-16,-13), ponto Pr=(7,2,1):
2(x-7)-16(y-2)-13(z-1)=0 ;Longrightarrow; 2x-16y-13z+31=0
(i) linhas paralelas com d=(2,1,1), ponto em r: (0,-1,-3), e vetor de ligação ( -1,3,3) dão n=(0,-7,7) e
-7(y+1)+7(z+3)=0 ;Longrightarrow; y-z-2=0
(j) dr=(1,-1,0), ds=(2,-2,0) (paralelos), vetor ligação (1,2,-4) to n=(4,4,3):
4(x+3)+4y+3(z-4)=0 ;Longrightarrow; 4x+4y+3z=0
(k) dr=(1,2,3), ds=(2,-1,4), to n=(11,2,-5), ponto em r=(0,3,-1):
11x+2(y-3)-5(z+1)=0 ;Longrightarrow; 11x+2y-5z-11=0
(I) dr=(2,2,1), ds=(2,-1,4), to n=(3,-2,-2), ponto em r=(1,0,1):
3(x-1)-2y-2(z-1)=0 ;Longrightarrow; 3x-2y-2z-1=0

Resposta

a) 2x-3y+z-7=0
b) x - y -3=0
c) 12x+2y-9z+22=0
d) 12x+2y-9z+22=0
e) 6x-14y-z+7=0
f) x+y-z-1=0
g) y+1=0
h) 2x-16y-13z+31=0
i) y-z-2=0
j) 4x+4y+3z=0
k) 11x+2y-5z-11=0
I) 3x-2y-2z-1=0

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