a) passa pelo ponto e é ortogonal ao vetor ;
b) possui o ponto e é paralelo aos vetores e ;
c) passa pelos pontos , e ;
d) passa pelos pontos e ;
e) passa pelos pontos e ;
f) passa pelo ponto e contém os vetores e ;
g) possui o ponto e é paralelo ao plano XOZ;
h) contém as retas e ;
i) contém as retas e ;
j) que contém as retas e s: x+22=y-2-2, z=0;
k) contém as retas rly=2 x+3 z=3 x-1 e s: x-12=y-1=z4;
I) passa pela reta x-12=y2=z-1 e é paralelo à reta x-32=y-2-1=z-44
RESP: a) pi: 2 x-3 y+z-7=0
b) pi: x-y-z=0
c) pi: 12 x+2 y-9 z+22=0
d) pi: 12 x+2 y-9 z+22=0
e) pi: 6 x-14 y-z+7=0
f) pi: x+y-z-5=0
g) pi: y+1=0
h) pi: 2 x-16 y-13 z+31=0
i) pi: y-z-2=0
j) pi: 4 x+4 y+3 z=0
k) pi: 11 x+2 y-5 z-11=0
I) pi: 3 x-2 y-2 z-1=0
Passo 1
O enunciado pede para determinar as equações de diversos planos em R^3 sujeitos a condições como: conter um ponto e ser ortogonal a um vetor, conter um ponto e ser paralelo a dois vetores, passar por três pontos, ser paralelo a um plano coordenado, ou ainda conter duas retas dadas. O conteúdo é Geometria Analítica em R^3. Para cada caso, precisamos obter um vetor normal n=(A,B,C) do plano e usar a forma
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,
onde (x0,y0,z0) é um ponto conhecido do plano.
Passo 2
Plano dado por ponto e vetor normal
Se o enunciado diz que o plano passa por P0=(x0,y0,z0) e é ortogonal a v=(v1,v2,v3), então n=v e a equação é
v1(x-x0)+v2(y-y0)+v3(z-z0)=0
Passo 3
Aplicando ao item (a)
Ponto D=(1,-1,2) e vetor v=(2,-3,1) é normal. Logo
Plano dado por ponto e paralelo a dois vetores
Se o plano contém P0 e é paralelo a a e b, então o normal n=atimesb. Em seguida usa-se a fórmula do passo 1.
Passo 5
Aplicando aos itens (b) e (f)
(b) P0=(1,-2,1), a=(1,1,-1), b=(1,1,-2):