a) lx times(2 i+3 j-k)=0 x bul<=t(4 i-2 j+k)=2
b) lv times(-i+2 j+k)=8 i+8 k v bul<=t(2 i+k)=2
c) lv bul<=t(3,-1,2)=-2 v times(2,3,0)=3 i-2 j-3 k
RESP: a)(4,6,-2)
b) (2,4,-2)
c) (1,3,-1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver três sistemas que envolvem produto vetorial e escalar para encontrar vetores x ou v. Vamos usar as propriedades dos produtos vetorial e escalar:
  • atimesb=0 implica aparal<=lb.
  • Componentes do produto vetorial
vtimesw=(v2w3-v3w2,;v3w1-v1w3,;v1w2-v2w1)
  • Para o produto escalar vale
vcdotw=v1w1+v2w2+v3w3

Passo 2

Resolvendo (a), seja x=(x,y,z). Como
xtimes(2,3,-1)=0,
temos xparal<=l(2,3,-1), logo x=t,(2,3,-1). Usando
xcdot(4,-2,1)=2
vemos
t,(2cdot4+3cdot(-2)+(-1)cdot1)=2implies t,(8-6-1)=2implies t=2
Logo
x=(4,6,-2)

Passo 3

Resolvendo (b), seja v=(x,y,z) e defina a=(-1,2,1). O produto vetorial
vtimesa=(y-2z,,-(x+z),,2x+y)
deve ser igual a (8,0,8). Isso gera o sistema
y-2z=8, x+z=0,2x+y=8
Além disso,
vcdot(2,0,1)=2x+z=2
Da segunda equação x=-z. Substituindo em 2x+z=2 obtém-se z=-2, x=2. Então y-2(-2)=8 y=4. Assim
v=(2,4,-2)

Passo 4

Resolvendo (c), seja v=(x,y,z) e b=(2,3,0). Calculamos
vtimesb=(-3z,;2z,;3x-2y)
devendo ser (3,-2,-3). Logo
-3z=3,2z=-2,3x-2y=-3
Da primeira equação z=-1, que satisfaz a segunda. Resta 3x-2y=-3. A condição escalar
vcdot(3,-1,2)=3x-y+2z=-2
vira 3x-y-2=-2, ou 3x-y=0, i.e.\ y=3x. Substituindo em 3x-2(3x)=-3 obtemos x=1 e y=3. Assim
v=(1,3,-1)

Resposta

a) (4,6,-2)\n
b) (2,4,-2)\n
c) (1,3,-1)

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