Questão 32: Obtenha uma base e consequentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de M3 times 3 abaixo descritos:
a) matrizes com traço igual a zero.
dim S=8

Passo 1

O enunciado pede para caracterizar o subespaço
S=Ain M3times3( R)mid tr(A)=0,
encontrar uma base de S e determinar sua dimensão.

Passo 2

Sabemos que M3times3( R) tem dimensão
3times3=9
A condição tr(A)=0 é uma única equação linear sobre as nove entradas de A. Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem (ou pelo Teorema da Dimensão), o subespaço solução dessa condição tem dimensão
9 - 1 = 8

Passo 3

Para expor uma base, escolhemos seis matrizes que têm um único 1 fora da diagonal (e zero nas demais posições) e duas matrizes diagonais cujo traço é zero. Definimos primeiro, para ineq j,
Eij = (de<aipde<ajq)p,q=1^3,
isto é, Eij tem entrada 1 na posição (i,j) e 0 nas outras. Essas seis matrizes satisfazem tr(Eij)=0.
Em seguida tomamos duas matrizes diagonais independentes de traço zero, por exemplo
D1 = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 , D2 = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1

Passo 4

As oito matrizes
E12,;E13,;E21,;E23,;E31,;E32,;D1,;D2
têm todas traço zero, são linearmente independentes (afetam entradas distintas ou combinam diagonais de forma independente) e, sendo oito vetores em um espaço de dimensão 8, formam uma base de S.

Resposta

Uma base de S é
lE12,E13,E21,E23,E31,E32,D1,D2r,
e sua dimensão é
dim S = 8

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