Questão 32: Obtenha uma base e consequentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de abaixo descritos:
a) matrizes com traço igual a zero.
Passo 1
O enunciado pede para caracterizar o subespaço ,
encontrar uma base de e determinar sua dimensão.
Passo 2
Sabemos que tem dimensão
A condição é uma única equação linear sobre as nove entradas de . Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem (ou pelo Teorema da Dimensão), o subespaço solução dessa condição tem dimensão
Passo 3
Para expor uma base, escolhemos seis matrizes que têm um único 1 fora da diagonal (e zero nas demais posições) e duas matrizes diagonais cujo traço é zero. Definimos primeiro, para ,
isto é, tem entrada 1 na posição e 0 nas outras. Essas seis matrizes satisfazem .
Em seguida tomamos duas matrizes diagonais independentes de traço zero, por exemplo
Passo 4
As oito matrizes
E12,;E13,;E21,;E23,;E31,;E32,;D1,;D2
têm todas traço zero, são linearmente independentes (afetam entradas distintas ou combinam diagonais de forma independente) e, sendo oito vetores em um espaço de dimensão 8, formam uma base de S.