Considere T: R^3 R^3 o operador linear definido por
T(x, y, z)=(3 x, y+2 z, x-z)
É correto afirmar que:
Escolha uma opção:
a. Os autovalores do operador T são 0,1 e 3 e os autoespaços V0, V1 e V3 de T satisfazem
dim(V0)+dim(V1)+dim(V3)=S §
b. Os autovalores do operador T são 0,1 e 3 e os autoespaços V0, V1 e V3 de T satisfazem
dim(V0)+dim(V1)+dim(V3)=Sigma
c. O polinômio característico de T é p(lambda)=(1-lambda)^2(3-lambda) e os autoespaços V1 e V3 de T satisfazem dim(V1)+dim(V3)=2.
d. Os autovalores do operador T são 1, 2 e 3 e os autoespaços V1, V2 e V3 de T satisfazem
dim(V1)+dim(V2)+dim(V3)=S §
e. O polinômio característico de T é p(lambda)=(1-lambda)(3-lambda)(-1-lambda) e os autovetores formam uma base de R^3.
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Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (3x,;y+2z,;x-z),
e nos pede para identificar seu polinômio característico, autovalores, dimensões dos autoespaços e verificar qual das alternativas dadas é correta. O conteúdo envolvido é cálculo de matriz de T, determinação de det(A-lambda I), fatores de multiplicidade algébrica e geométrica, e condição de diagonalizabilidade.

Passo 2

Escolhemos a base canônica de R^3. Na base e1,e2,e3 com e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1), a matriz de T é
A = 3 & 0 & 0 0 & 1 & 2 1 & 0 & -1 ,
pois T(e1)=(3,0,1), T(e2)=(0,1,0), T(e3)=(0,2,-1).

Passo 3

O polinômio característico é
p(lambda) = det(A - lambda I) = det 3-lambda & 0 & 0 0 & 1-lambda & 2 1 & 0 & -1-lambda
Como a primeira linha tem zeros nas colunas 2 e 3,
p(lambda) = (3-lambda),det1-lambda & 20 & -1-lambda = (3-lambda),l((1-lambda)(-1-lambda)r)

Passo 4

Fatorando, obtemos
p(lambda) = (3-lambda),(1-lambda),(-1-lambda)
Logo os autovalores são lambda=3, lambda=1 e lambda=-1, cada um com multiplicidade algébrica 1.

Passo 5

Como cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1, a dimensão de seu autoespaço (multiplicidade geométrica) também é 1. Portanto a soma das dimensões dos três autoespaços é
1 + 1 + 1 = 3 = dim(R^3),
o que garante que T é diagonalizável e que seus autovetores formam uma base de R^3.

Passo 6

Comparando com as alternativas, a que descreve corretamente o polinômio
p(lambda) = (1-lambda)(3-lambda)(-1-lambda)
e afirma que os autovetores formam uma base de R^3 é a opção e.

Resposta

e. O polinômio característico de T é (1-lambda)(3-lambda)(-1-lambda) e os autovetores formam uma base de R^3.

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