É correto afirmar que:
Escolha uma opção:
a. Os autovalores do operador são 0,1 e 3 e os autoespaços e de satisfazem
b. Os autovalores do operador são 0,1 e 3 e os autoespaços e de satisfazem
c. O polinômio característico de é e os autoespaços e de satisfazem .
d. Os autovalores do operador são 1, 2 e 3 e os autoespaços e de satisfazem
e. O polinômio característico de é os autovetores formam uma base de .
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Passo 1
O enunciado define o operador linear
e nos pede para identificar seu polinômio característico, autovalores, dimensões dos autoespaços e verificar qual das alternativas dadas é correta. O conteúdo envolvido é cálculo de matriz de , determinação de , fatores de multiplicidade algébrica e geométrica, e condição de diagonalizabilidade.
Passo 2
Escolhemos a base canônica de . Na base com , , , a matriz de é
pois T(e1)=(3,0,1), T(e2)=(0,1,0), T(e3)=(0,2,-1).
Logo os autovalores são lambda=3, lambda=1 e lambda=-1, cada um com multiplicidade algébrica 1.
Passo 5
Como cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1, a dimensão de seu autoespaço (multiplicidade geométrica) também é 1. Portanto a soma das dimensões dos três autoespaços é
1 + 1 + 1 = 3 = dim(R^3),
o que garante que T é diagonalizável e que seus autovetores formam uma base de R^3.
Passo 6
Comparando com as alternativas, a que descreve corretamente o polinômio
p(lambda) = (1-lambda)(3-lambda)(-1-lambda)
e afirma que os autovetores formam uma base de R^3 é a opção e.
Resposta
e. O polinômio característico de T é (1-lambda)(3-lambda)(-1-lambda) e os autovetores formam uma base de R^3.