[2,5 pontos] Em um prisma equilátero com índice de refração de 1,5 , determine:
a. [1,0] Qual é o menor ângulo de incidência para o qual um raio pode entrar na face \mathbf{A} do prisma e sair na face \mathbf{B} ?
b. [0,5] Qual deve ser o novo ângulo de incidência para que o raio saia do prisma, na face B , com o mesmo ângulo com que entrou?
c. [1,0] Se o prisma é submergido em água ( n_{\text {agua }}=1,33 ), qual deve ser o novo ângulo de incidência para que o raio alcance a superfície \mathbf{C} do prisma com um ângulo crítico?.

Passo 1

O enunciado dá um prisma equilátero (todos os ângulos da secção triangular iguais a \,60^\circ) com índice de refração do prisma \,n=1{,}5. Um raio chega por fora na face \mathbf{A} e pode atravessar o prisma e sair pela face \mathbf{B}. Precisamos responder três coisas:
  • (a) Qual é o menor ângulo de incidência na face \mathbf{A} (no meio exterior, que aqui é ar com n_{\text{ar}}=1) para que o raio entre em \mathbf{A} e consiga sair pela face \mathbf{B}?
  • (b) Qual ângulo de incidência (novamente na face \mathbf{A}, em ar) faz com que o raio saia pela face \mathbf{B} com o mesmo ângulo (em relação à normal) com que entrou em \mathbf{A}?
  • (c) Se o prisma for submergido em água com n_{\text{água}}=1{,}33á, qual deve ser o ângulo de incidência (na face \mathbf{A}, agora no meio água) para que o raio atinja a superfície \mathbf{C} do prisma com ângulo crítico?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
n_{\text{prisma}}=1{,}5,\quad n_{\text{ar}}=1,\quad n_{\text{água}}=1{,}33,\quad\text{ângulo do prisma }A=60^\circ.áâ
A resolução começa a seguir.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Lei de Snell (refração): para uma interface entre meio 1 com índice n_1 e meio 2 com índice n_2,
n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2,
onde \theta_1 é o ângulo de incidência medido a partir da normal no meio 1 e \theta_2 é o ângulo de refração no meio 2. Aqui vou sempre explicitar quem é o meio 1 e o meio 2 quando usar.
  • Ângulo crítico para reflexão total interna: quando um raio viaja do meio mais denso ( n_{\text{denso}}) para o meio menos denso ( n_{\text{raro}}), existe um ângulo crítico \theta_c tal que para ângulos internos maiores que \theta_c ocorre reflexão total interna. Ele satisfaz
\sin\theta_c=\frac{n_{\text{raro}}}{n_{\text{denso}}}.
No nosso caso, quando o interior do prisma ( n=1{,}5) se comunica com o ar ( n=1), o cosseno é substituído por esse seno acima.
  • Geometria do prisma equilátero (como usar no problema): se o raio refratado dentro do prisma faz um ângulo \,r com a normal à face \mathbf{A}, então — por geometria da secção triangular — o ângulo de incidência desse raio sobre outra face pode ser escrito em função de \,r e do ângulo do prisma A=60^\circ. Para o caso da face \mathbf{B} que está do outro lado do vértice, a relação (que pode ser obtida traçando as normais e somando/subtraindo ângulos) é
\theta_{B,\text{int}} = 60^\circ - r,
ou seja, o ângulo do raio em relação à normal de \mathbf{B} (medido dentro do prisma) é \,60^\circ-r. Essa relação é essencial — eu a usarei e, quando necessário, justifico com desenho mental da secção triangular.
Agora aplicamos essas fórmulas passo a passo nos itens.

Passo 3

Resolução do item (a): menor ângulo de incidência em \mathbf{A} para que o raio consiga sair em \mathbf{B} (meio exterior é ar).
Ideia física curta e óbvia: o risco de o raio não sair pela face \mathbf{B} é a reflexão total interna nessa face. Para que o raio ainda consiga sair, a condição extrema (limite) é que o ângulo de incidência na face \mathbf{B}, medido dentro do prisma, seja igual ao ângulo crítico \theta_c (entre prisma e ar). Portanto vamos:
  1. Calcular o ângulo crítico \theta_c para a interface prisma (n=1{,}5) → ar (n=1):
\sin\theta_c=\frac{n_{\text{ar}}}{n_{\text{prisma}}}=\frac{1}{1{,}5}=\frac{2}{3}.
  1. Assim \displaystyle \theta_c=\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right). Vou guardar esse valor para usar numericamente depois.
  2. Pela geometria do prisma, no limite em que o raio está exatamente no caso de escapar de \mathbf{B}, o ângulo interno em \mathbf{B} é \theta_{B,\text{int}}=\theta_c. Mas também \theta_{B,\text{int}}=60^\circ-r, onde r é o ângulo de refração dentro do prisma relativo à normal da face \mathbf{A}. Então
60^\circ - r = \theta_c \quad\Rightarrow\quad r = 60^\circ - \theta_c.
  1. Agora aplicamos Snell na entrada (ar \to prisma): n_{\text{ar}}\sin i = n_{\text{prisma}}\sin r. Como n_{\text{ar}}=1,
\sin i = n_{\text{prisma}}\sin r = 1{,}5\sin r.
  1. Substituir r e calcular numericamente:
\theta_c=\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)\approx 41{,}8103^\circ,
r=60^\circ-41{,}8103^\circ=18{,}1897^\circ,
\sin r=\sin(18{,}1897^\circ)\approx 0{,}3120,
\sin i = 1{,}5\times 0{,}3120\approx 0{,}4680,
i = \arcsin(0{,}4680)\approx 27{,}92^\circ.
Conclusão do (a): o menor ângulo de incidência que ainda permite saída em \mathbf{B} é aproximadamente \,27{,}92^\circ.

Passo 4

Resolução do item (b): encontrar o ângulo de incidência em \mathbf{A} (em ar) tal que o raio saia pela face \mathbf{B} com o mesmo ângulo com que entrou (ou seja, ângulo de saída em relação à normal de \mathbf{B} igual ao ângulo de incidência inicial i em relação à normal de \mathbf{A}).
Vamos escrever as equações de Snell nas duas interfaces e a relação geométrica interior:
  1. Entrada (ar \to prisma) — Snell:
1\cdot\sin i = 1{,}5\sin r \quad\Rightarrow\quad \sin r = \frac{\sin i}{1{,}5}.
  1. Saída (prisma \to ar) — Snell:
    se \theta_{B,\text{int}} é o ângulo interno com a normal de \mathbf{B}, e \theta_{\text{out}} o ângulo externo ao sair (em ar), então
1{,}5\sin\theta_{B,\text{int}} = 1\cdot\sin\theta_{\text{out}}.
A condição pedida é \theta_{\text{out}}=i. E lembramos \theta_{B,\text{int}}=60^\circ-r. Substituindo:
1{,}5\sin(60^\circ-r) = \sin i.
  1. Substituímos \sin r = \dfrac{\sin i}{1{,}5} para eliminar r. Usamos a identidade
\sin(60^\circ-r)=\sin60^\circ\cos r-\cos60^\circ\sin r.
Multiplicando por 1{,}5:
1{,}5\sin(60^\circ-r)=1{,}5\sin60^\circ\cos r - 1{,}5\cos60^\circ\sin r.
Agora note que 1{,}5\cos r=\sqrt{(1{,}5)^2-(1{,}5\sin r)^2}=\sqrt{2{,}25-(\sin i)^2}, mas há uma forma muito mais simples numérica ao escolher valores de \sin60^\circ e \cos60^\circ.
  1. Use valores \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}8660254 e \cos60^\circ=\tfrac12. A equação
1{,}5\sin(60^\circ-r)=\sin i
fica
1{,}5\Big(\sin60^\circ\cos r-\cos60^\circ\sin r\Big)=\sin i.
Mas 1{,}5\cos60^\circ\sin r = 1{,}5\cdot\tfrac12\sin r=0{,}75\sin r e, lembrando \sin r=\dfrac{\sin i}{1{,}5}, temos 0{,}75\sin r=0{,}75\cdot\dfrac{\sin i}{1{,}5}=0{,}5\sin i. Então:
1{,}5\sin60^\circ\cos r - 0{,}5\sin i = \sin i.
Isolando o termo com \cos r:
1{,}5\sin60^\circ\cos r = 1{,}5\sin i.
Dividindo ambos os lados por 1{,}5:
\sin60^\circ\cos r = \sin i.
Agora usamos \cos r=\sqrt{1-\sin^2 r}=\sqrt{1-\left(\dfrac{\sin i}{1{,}5}\right)^2}. Substituindo e ao quadrar a equação (mas aqui há um caminho ainda mais simples: coloque valores numéricos de \sin60^\circ e resolva algebricamente):
0{,}8660254\cos r = \sin i.
Com \cos r=\sqrt{1-(\sin i/1{,}5)^2} obtemos
0{,}8660254\sqrt{1-\left(\dfrac{\sin i}{1{,}5}\right)^2}=\sin i.
Quadrando ambos os lados (vai simplificar bem):
0{,}75\left(1-\dfrac{\sin^2 i}{2{,}25}\right) = \sin^2 i.
Porque 0{,}8660254^2=0{,}75 e 1{,}5^2=2{,}25. Desenvolvendo:
0{,}75 - \frac{0{,}75}{2{,}25}\sin^2 i = \sin^2 i.
Mas \dfrac{0{,}75}{2{,}25}=\dfrac{3/4}{9/4}=\dfrac{1}{3}. Então:
0{,}75 - \tfrac{1}{3}\sin^2 i = \sin^2 i \quad\Rightarrow\quad 0{,}75 = \sin^2 i + \tfrac{1}{3}\sin^2 i = \tfrac{4}{3}\sin^2 i.
Logo
\sin^2 i = 0{,}75\cdot\tfrac{3}{4}=0{,}5625.
Portanto
\sin i = \sqrt{0{,}5625}=0{,}75.
Então
i=\arcsin(0{,}75)\approx 48{,}59^\circ.
Checagem rápida (muito útil em prova): com esse i, \sin r=\dfrac{0{,}75}{1{,}5}=0{,}5 então r=30^\circ. Então \theta_{B,\text{int}}=60^\circ-30^\circ=30^\circ. Saindo do prisma: 1{,}5\sin30^\circ=1{,}5\cdot 0{,}5=0{,}75=\sin i, ou seja, \theta_{\text{out}}=i — condição satisfeita. Bom sinal!

Passo 5

Resolução do item (c): prisma submerso em água ( n_{\text{água}}=1{,}33á). Queremos o ângulo de incidência (na face \mathbf{A}, agora com meio externo água) para que o raio alcance a superfície \mathbf{C} do prisma com um ângulo crítico (ou seja, atinja \mathbf{C} exatamente com o ângulo crítico da interface prisma→água).
Passos:
  1. Calcular o ângulo crítico para a interface prisma \to água (agora o meio raro é a água):
\sin\theta_c'=\frac{n_{\text{água}}}{n_{\text{prisma}}}=\frac{1{,}33}{1{,}5}\approx 0{,}8866667,á
\theta_c'=\arcsin\!\left(\frac{1{,}33}{1{,}5}\right)\approx 62{,}57^\circ.
  1. Geometria interna: precisamos expressar o ângulo de incidência sobre a face \mathbf{C} (medido dentro do prisma) em função do ângulo refratado r que o raio faz com a normal da face \mathbf{A}. Pela geometria da secção (veja o desenho mental da secção triangular), para raios que atravessam da face \mathbf{A} em direção à face \mathbf{C} ocorre
\theta_{C,\text{int}} = 60^\circ + r,
quando 60^\circ + r \le 90^\circ. (Explicação curta: traçando as normais e medindo os arcos, o deslocamento angular entre a normal de \mathbf{A} e a normal de \mathbf{C} é 60^\circ; dependendo do lado para o qual o raio é dirigido, o ângulo entre o raio e a normal de \mathbf{C} resulta em 60^\circ\pm r. No caso em questão, com raios razoavelmente pouco inclinados r pequenos, a expressão a usar é 60^\circ+r.)
  1. Queremos que \theta_{C,\text{int}}=\theta_c'. Assim
60^\circ + r = \theta_c' \quad\Rightarrow\quad r = \theta_c' - 60^\circ.
(Observação: isso dá um r pequeno porque \theta_c' é pouco maior que 60^\circ.)
  1. Agora aplicamos Snell na entrada A, mas lembrando que o meio externo é água: n_{\text{água}}\sin i = n_{\text{prisma}}\sin rá. Portanto
\sin i = \frac{n_{\text{prisma}}}{n_{\text{água}}}\sin r = \frac{1{,}5}{1{,}33}\sin r.á
  1. Calcule números:
\theta_c'\approx 62{,}57^\circ\quad\Rightarrow\quad r=\theta_c'-60^\circ\approx 2{,}57^\circ,
\sin r=\sin(2{,}57^\circ)\approx 0{,}04486,
\frac{1{,}5}{1{,}33}\approx 1{,}1278195,
\sin i \approx 1{,}1278195\times 0{,}04486\approx 0{,}05055,
i=\arcsin(0{,}05055)\approx 2{,}90^\circ.
Interpretação: o ângulo de incidência na face \mathbf{A} (medido na água) precisa ser muito pequeno — cerca de 2{,}9^\circ — para que, depois de refratar pouco dentro do prisma, o raio chegue à face \mathbf{C} com o ângulo crítico de saída para a água.

Resposta

(a) \approx 27{,}92^\circ\n
(b) \arcsin(0{,}75)\approx 48{,}59^\circ\n
(c) \approx 2{,}90^\circ

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