[2,5 pontos] Em um prisma equilátero com índice de refração de 1,5 , determine:
a.
Qual é o menor ângulo de incidência para o qual um raio pode entrar na face
do prisma e sair na face
?
b.
Qual deve ser o novo ângulo de incidência para que o raio saia do prisma, na face B , com o mesmo ângulo com que entrou?
c.
Se o prisma é submergido em água (
), qual deve ser o novo ângulo de incidência para que o raio alcance a superfície
do prisma com um ângulo crítico?.
a.
b.
c.
Passo 1
O enunciado dá um prisma equilátero (todos os ângulos da secção triangular iguais a
) com índice de refração do prisma
. Um raio chega por fora na face
e pode atravessar o prisma e sair pela face
. Precisamos responder três coisas:
- (a) Qual é o menor ângulo de incidência na face
(no meio exterior, que aqui é ar com ) para que o raio entre em e consiga sair pela face ? - (b) Qual ângulo de incidência (novamente na face
, em ar) faz com que o raio saia pela face com o mesmo ângulo (em relação à normal) com que entrou em ? - (c) Se o prisma for submergido em água com
, qual deve ser o ângulo de incidência (na face , agora no meio água) para que o raio atinja a superfície do prisma com ângulo crítico?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A resolução começa a seguir.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
- Lei de Snell (refração): para uma interface entre meio 1 com índice
e meio 2 com índice ,
onde
é o ângulo de incidência medido a partir da normal no meio 1 e
é o ângulo de refração no meio 2. Aqui vou sempre explicitar quem é o meio 1 e o meio 2 quando usar.
- Ângulo crítico para reflexão total interna: quando um raio viaja do meio mais denso (
) para o meio menos denso ( ), existe um ângulo crítico tal que para ângulos internos maiores que ocorre reflexão total interna. Ele satisfaz
No nosso caso, quando o interior do prisma (
) se comunica com o ar (
), o cosseno é substituído por esse seno acima.
- Geometria do prisma equilátero (como usar no problema): se o raio refratado dentro do prisma faz um ângulo
com a normal à face , então — por geometria da secção triangular — o ângulo de incidência desse raio sobre outra face pode ser escrito em função de e do ângulo do prisma . Para o caso da face que está do outro lado do vértice, a relação (que pode ser obtida traçando as normais e somando/subtraindo ângulos) é
ou seja, o ângulo do raio em relação à normal de
(medido dentro do prisma) é
. Essa relação é essencial — eu a usarei e, quando necessário, justifico com desenho mental da secção triangular.
Agora aplicamos essas fórmulas passo a passo nos itens.
Passo 3
Resolução do item (a): menor ângulo de incidência em
para que o raio consiga sair em
(meio exterior é ar).
Ideia física curta e óbvia: o risco de o raio não sair pela face
é a reflexão total interna nessa face. Para que o raio ainda consiga sair, a condição extrema (limite) é que o ângulo de incidência na face
, medido dentro do prisma, seja igual ao ângulo crítico
(entre prisma e ar). Portanto vamos:
- Calcular o ângulo crítico
para a interface prisma (n=1{,}5) → ar (n=1):
-
Assim
. Vou guardar esse valor para usar numericamente depois. -
Pela geometria do prisma, no limite em que o raio está exatamente no caso de escapar de
, o ângulo interno em é . Mas também , onde é o ângulo de refração dentro do prisma relativo à normal da face . Então
- Agora aplicamos Snell na entrada (ar
prisma): . Como ,
- Substituir
e calcular numericamente:
Conclusão do (a): o menor ângulo de incidência que ainda permite saída em
é aproximadamente
.
Passo 4
Resolução do item (b): encontrar o ângulo de incidência em
(em ar) tal que o raio saia pela face
com o mesmo ângulo com que entrou (ou seja, ângulo de saída em relação à normal de
igual ao ângulo de incidência inicial
em relação à normal de
).
Vamos escrever as equações de Snell nas duas interfaces e a relação geométrica interior:
- Entrada (ar
prisma) — Snell:
- Saída (prisma
ar) — Snell:
seé o ângulo interno com a normal de , e o ângulo externo ao sair (em ar), então
A condição pedida é
. E lembramos
. Substituindo:
- Substituímos
para eliminar . Usamos a identidade
Multiplicando por
:
Agora note que
, mas há uma forma muito mais simples numérica ao escolher valores de
e
.
- Use valores
e . A equação
fica
Mas
e, lembrando
, temos
. Então:
Isolando o termo com
:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora usamos
. Substituindo e ao quadrar a equação (mas aqui há um caminho ainda mais simples: coloque valores numéricos de
e resolva algebricamente):
Com
obtemos
Quadrando ambos os lados (vai simplificar bem):
Porque
e
. Desenvolvendo:
Mas
. Então:
Logo
Portanto
Então
Checagem rápida (muito útil em prova): com esse
,
então
. Então
. Saindo do prisma:
, ou seja,
— condição satisfeita. Bom sinal!
Passo 5
Resolução do item (c): prisma submerso em água (
). Queremos o ângulo de incidência (na face
, agora com meio externo água) para que o raio alcance a superfície
do prisma com um ângulo crítico (ou seja, atinja
exatamente com o ângulo crítico da interface prisma→água).
Passos:
- Calcular o ângulo crítico para a interface prisma
água (agora o meio raro é a água):
- Geometria interna: precisamos expressar o ângulo de incidência sobre a face
(medido dentro do prisma) em função do ângulo refratado que o raio faz com a normal da face . Pela geometria da secção (veja o desenho mental da secção triangular), para raios que atravessam da face em direção à face ocorre
quando
. (Explicação curta: traçando as normais e medindo os arcos, o deslocamento angular entre a normal de
e a normal de
é
; dependendo do lado para o qual o raio é dirigido, o ângulo entre o raio e a normal de
resulta em
. No caso em questão, com raios razoavelmente pouco inclinados
pequenos, a expressão a usar é
.)
- Queremos que
. Assim
(Observação: isso dá um
pequeno porque
é pouco maior que
.)
- Agora aplicamos Snell na entrada A, mas lembrando que o meio externo é água:
. Portanto
- Calcule números:
Interpretação: o ângulo de incidência na face
(medido na água) precisa ser muito pequeno — cerca de
— para que, depois de refratar pouco dentro do prisma, o raio chegue à face
com o ângulo crítico de saída para a água.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)