Um auditório tem 28 m de comprimento, 19 m de largura e 6 m de altura. Sua capacidade é para 560 pessoas. O ambiente possui duas portas de madeira cada uma com 2,2 \mathrm{~m} de largura e 2,10 \mathrm{~m} de altura, cujo coeficiente de
absorção é de 0,14 . O teto é revestido por um material acústico cujo coeficiente de absorção é de 0,67 . As paredes são forradas de tecido cujo coeficiente de absorção é de 0,32 . O piso é de carpete de madeira cujo coeficiente de absorção é de 0,13 . As cadeiras são estofadas e tem coeficiente de absorção igual 0,52 . Despreze a absorção sonora do ar. Usando a Equação de Sabine, pede-se:
a) Calcular o tempo de reverberação desse auditóriosem as cadeiras.
b) Calcular o tempo de reverberação desse auditório considerando ascadeiras

Passo 1

O enunciado pede para calcular o tempo de reverberação do auditório usando a Equação de Sabine em duas situações:
a) sem as cadeiras;
b) com as cadeiras.
Dados fornecidos (vou listá‑los todos explicitamente):
  • comprimento do auditório: 28\\ \mathrm{m}
  • largura do auditório: 19\\ \mathrm{m}
  • altura do auditório: 6\\ \mathrm{m}
  • capacidade (número de cadeiras): 560 pessoas (vamos entender como 560 cadeiras)
  • portas: duas portas de madeira, cada uma com 2,2\\ \mathrm{m} de largura e 2,10\\ \mathrm{m} de altura, coeficiente de absorção \alpha_{\text{porta}}=0,14
  • teto: revestido por material acústico com \alpha_{\text{teto}}=0,67
  • paredes: forradas de tecido com \alpha_{\text{paredes}}=0,32
  • piso: carpete de madeira com \alpha_{\text{piso}}=0,13
  • cadeiras: estofadas com \alpha_{\text{cadeira}}=0,52
  • desprezar absorção do ar.
Observação importante (necessária para poder calcular): o enunciado não dá a área ocupada por cada cadeira. Para poder tratar as cadeiras como superfície absorvente, eu vou assumir que cada cadeira ocupa uma área projetada ao piso de 0,5\\ \mathrm{m}^2 (valor típico usado em estimativas de projeto: assento + espaço imediato). Vou explicar e justificar essa opção quando usar. Se você tiver outro valor por cadeira, posso refazer rapidamente os cálculos.

Passo 2

Calcular volume e áreas geométricas do auditório (tudo mostrado passo a passo).
Volume V:
V = \text{comprimento}\times\text{largura}\times\text{altura} = 28\cdot19\cdot6 = 3192\\ \mathrm{m}^3.
Área do piso (igual à área do teto):
S_{\text{piso}} = S_{\text{teto}} = 28\cdot19 = 532\\ \mathrm{m}^2.
Áreas das paredes: duas paredes com 28\times6 e duas com 19\times6.
S_{28} = 2\cdot(28\cdot6) = 2\cdot168 = 336\\ \mathrm{m}^2,
S_{19} = 2\cdot(19\cdot6) = 2\cdot114 = 228\\ \mathrm{m}^2,
S_{\text{paredes,total}} = 336+228 = 564\\ \mathrm{m}^2.
Área das portas (duas portas, cada uma 2{,}2\times2{,}10):
S_{\text{porta,uma}} = 2{,}2\cdot2{,}10 = 4{,}62\\ \mathrm{m}^2,
S_{\text{portas,total}} = 2\cdot4{,}62 = 9{,}24\\ \mathrm{m}^2.
Importante: como as portas estão embutidas nas paredes, devemos retirar a área das portas da área revestida por tecido (para não contar a mesma área duas vezes). Assim a área de paredes realmente forradas por tecido é
S_{\text{paredes,tecido}} = S_{\text{paredes,total}} - S_{\text{portas,total}} = 564 - 9{,}24 = 554{,}76\\ \mathrm{m}^2.
Resumo das áreas usadas nos cálculos:
S_{\text{teto}}=532,\quad S_{\text{piso}}=532,\quad S_{\text{paredes,tecido}}=554{,}76,\quad S_{\text{portas}}=9{,}24\quad(\mathrm{m}^2).

Passo 3

Apresentar a Equação de Sabine e o conceito de área de absorção (explicação didática).
  • O coeficiente de absorção \alpha de uma superfície é a fração da energia sonora incidente que essa superfície absorve (valor entre 0 e 1). Por exemplo, \alpha=0{,}5 significa que 50\% da energia incidente é absorvida pela superfície.
  • A área equivalente de absorção (em sabins) de uma superfície é dada por \alpha multiplicado pela área física S: cada superfície contribui com \alpha\cdot S sabins. O total de absorção do recinto é a soma dessas contribuições:
A = \sum_i \alpha_i S_i \quad(\text{em sabins}).
  • A Equação de Sabine relaciona o tempo de reverberação T ao volume V do recinto e à área equivalente de absorção total A:
T = \frac{0,161\,V}{A}.
Aqui T está em segundos quando V está em \mathrm{m}^3 e A em \mathrm{m}^2 equivalentes (sabins). O número 0,161 é uma constante resultante da teoria (depende de unidades e constantes físicas); para cálculos práticos usamos 0,161.

Passo 4

Calcular a área equivalente de absorção A do auditório sem cadeiras (somente superfícies: teto, piso, paredes e portas). Vou calcular cada contribuição \alpha\cdot S e somar.
Teto: \alpha_{\text{teto}}=0{,}67, S_{\text{teto}}=532:
A_{\text{teto}} = 0{,}67\cdot532 = 356{,}44\\ \text{sabins}.
Piso: \alpha_{\text{piso}}=0{,}13, S_{\text{piso}}=532:
A_{\text{piso}} = 0{,}13\cdot532 = 69{,}16\\ \text{sabins}.
Paredes revestidas de tecido: \alpha_{\text{paredes}}=0{,}32, S_{\text{paredes,tecido}}=554{,}76:
A_{\text{paredes}} = 0{,}32\cdot554{,}76 = 177{,}5232\\ \text{sabins}.
Portas (madeira): \alpha_{\text{porta}}=0{,}14, S_{\text{portas}}=9{,}24:
A_{\text{portas}} = 0{,}14\cdot9{,}24 = 1{,}2936\\ \text{sabins}.
Somando todas as contribuições (sem cadeiras):
A_{\text{total,sem cadeiras}} = 356{,}44 + 69{,}16 + 177{,}5232 + 1{,}2936 = 604{,}4168\\ \text{sabins}.

Passo 5

Calcular o tempo de reverberação sem cadeiras usando Sabine.
Usando V=3192\\ \mathrm{m}^3 e A_{\text{total,sem cadeiras}}=604{,}4168\\ \text{sabins}:
T_{\text{sem cadeiras}} = \frac{0{,}161\;V}{A} = \frac{0{,}161\cdot3192}{604{,}4168}.
Calcule o numerador: 0{,}161\cdot3192 = 513{,}912. Então
T_{\text{sem cadeiras}} = \frac{513{,}912}{604{,}4168}\approx 0{,}85\\ \mathrm{s}.
Interpretação rápida: sem cadeiras o tempo de reverberação é cerca de 0{,}85\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Tratar o caso com as cadeiras: como modelar as cadeiras e justificativa da hipótese adotada.
O enunciado dá \alpha_{\text{cadeira}}=0{,}52 e número de cadeiras 560. Para transformar isso em área equivalente usamos uma área projetada por cadeira. Vou assumir área projetada por cadeira
S_{\text{cadeira,uma}} = 0{,}5\\ \mathrm{m}^2,
valor típico (assento + pequeno espaço). Assim a área total ocupada pelas cadeiras é
S_{\text{cadeiras,total}} = 560\cdot0{,}5 = 280\\ \mathrm{m}^2.
Ao colocar as cadeiras, elas ocupam essa área do piso; portanto o piso deixará de ser inteiramente visível como carpete: a área do piso não coberta por cadeiras fica
S_{\text{piso,restante}} = S_{\text{piso}} - S_{\text{cadeiras,total}} = 532 - 280 = 252\\ \mathrm{m}^2.
Explicação do procedimento (resumida): estou tratando as cadeiras como novas superfícies absorventes sobre o piso, e subtraindo a área ocupada por elas da contribuição do piso, para não contar duas superfícies na mesma região.

Passo 7

Calcular a nova área equivalente de absorção com cadeiras presentes (somar contribuições: teto, piso restante, paredes, portas e cadeiras).
Teto (mesmo): A_{\text{teto}}=356{,}44\\ \text{sabins}.
Piso restante: \alpha_{\text{piso}}=0{,}13, S_{\text{piso,restante}}=252:
A_{\text{piso,restante}} = 0{,}13\cdot252 = 32{,}76\\ \text{sabins}.
Paredes (mesmo que antes): A_{\text{paredes}}=177{,}5232\\ \text{sabins}.
Portas (mesmo): A_{\text{portas}}=1{,}2936\\ \text{sabins}.
Cadeiras: \alpha_{\text{cadeira}}=0{,}52, S_{\text{cadeiras,total}}=280:
A_{\text{cadeiras}} = 0{,}52\cdot280 = 145{,}6\\ \text{sabins}.
Somando todas as contribuições com cadeiras:
A_{\text{total,com cadeiras}} = 356{,}44 + 32{,}76 + 177{,}5232 + 1{,}2936 + 145{,}6 = 713{,}6168\\ \text{sabins}.

Passo 8

Calcular o tempo de reverberação com cadeiras usando Sabine.
Usando V=3192\\ \mathrm{m}^3 e A_{\text{total,com cadeiras}}=713{,}6168\\ \text{sabins}:
T_{\text{com cadeiras}} = \frac{0{,}161\cdot3192}{713{,}6168} = \frac{513{,}912}{713{,}6168}\approx 0{,}72\\ \mathrm{s}.
Comentário prático rápido: a presença das cadeiras (área absorvente adicional) reduz o tempo de reverberação de aproximadamente 0{,}85\\ \mathrm{s} para 0{,}72\\ \mathrm{s}. Isso mostra como elementos estofados ajudam a controlar reverberação.

Resposta

(a) T_{\text{sem cadeiras}}\approx 0,85\\ \mathrm{s}
(b) T_{\text{com cadeiras}}\approx 0,72\\ \mathrm{s}

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