[2 Pontos] Seja C a curva x^2+(y-2)^2=1. Calcule
I=ointC[(-(y-3)^3+3 x^2 y-ln (x^2+e^x))] d x+[2 x^3+sen raiz1+y^2] d y

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral de linha fechada
I=ointC P,dx + Q,dy,
sendo
P(x,y)=-(y-3)^3 + 3x^2y - lnl(x^2 + e^xr)
e
Q(x,y)=2x^3 + senraiz1+y^2,
a curva C definida por x^2+(y-2)^2=1. Vamos usar o Teorema de Green para converter em integral dupla sobre a região D interior a C, calculando primeiro as derivadas parciais.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x=6x^2,
partial Ppartial y=-3(y-3)^2 +3x^2

Passo 3

Pelo Teorema de Green, com orientação positiva (anti-horária), temos
I=integral duplaD l(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA

Passo 4

Substituindo as derivadas:
partial Qpartial x-partial Ppartial y=6x^2 -l(-3(y-3)^2+3x^2r)=3x^2+3(y-3)^2=3l[x^2+(y-3)^2r]
Assim
I=3integral duplaD l[x^2+(y-3)^2r]dA

Passo 5

Para facilitar, fazemos a mudança de variáveis
u=x, v=y-3,
cujA região D é o disco u^2+(v+1)^2<=1. Precisamos então de
integral duplaD(u^2+v^2)dA

Passo 6

Usando o teorema dos eixos (ou polar), para um disco de raio 1 deslocado de 1 unidade, temos
integral duplaD(u^2+v^2)dA=integral dupladisco centro Gr^2dA + Acdot d^2=pi2cdot1^4+picdot1^2=3pi2
Multiplicando por 3:
I=3times3pi2=9pi2

Resposta

9pi2

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