[2 Pontos] Seja
a curva
. Calcule
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral de linha fechada
sendo
e
a curva C definida por
. Vamos usar o Teorema de Green para converter em integral dupla sobre a região D interior a C, calculando primeiro as derivadas parciais.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 3
Pelo Teorema de Green, com orientação positiva (anti-horária), temos
Passo 4
Substituindo as derivadas:
Assim
Passo 5
Para facilitar, fazemos a mudança de variáveis
cujA região D é o disco
. Precisamos então de
Passo 6
Usando o teorema dos eixos (ou polar), para um disco de raio 1 deslocado de 1 unidade, temos
Multiplicando por 3: