Um corpo de massa m caindo através de um meio viscoso encontra uma força de resistência proporcional ao quadrado de sua velocidade instantânea. Assim, a ED da velocidade é
m d vd t=m g-k v^2
Onde k é a constante positiva de proporcionalidade e g é a aceleração da gravidade. Responda:
a) Qual o significado físico de cada parcela da equação acima?
b) Se v(0)=v0, qual é a velocidade limite do corpo em queda?

Passo 1

O enunciado trata da queda de um corpo de massa m num fluido em que a força de arrasto é proporcional ao quadrado da velocidade. A equação diferencial
m,dvdt=m,g - k,v^2
vem da segunda lei de Newton. Vamos primeiro interpretar cada termo (parte a) e depois achar a velocidade terminal, isto é, o valor de v quando ttoinfty (parte b).

Passo 2

Para cada parcela da equação:
,m,dvdt é a força resultante que causa a aceleração do corpo (variação de velocidade);
,m,g é o peso do corpo, atuando para baixo;
,k,v^2 é a força de resistência do meio, apontando para cima (oposta ao movimento), com k>0 constante de proporcionalidade.

Passo 3

A velocidade terminal vinfty é atingida quando a aceleração some, ou seja dvdt=0. Então impõe-se
m,g - k,vinfty^2 = 0
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vinfty = raizm,gk

Resposta

a) ,m,dvdt é a força resultante, ,m,g o peso e ,k,v^2 a força de arrasto quadrático.
b) vinfty=raiztfracm,gk.

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