Escreva, mas não calcule, as expressões integrais para o centro de massa.
O hemisfério x^2+y^2+z^2 <= 1, z >= 0;
rho(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2

Passo 1

O problema pede as fórmulas integrais para o centro de massa do hemisfério definido por x^2+y^2+z^2<=1, z>=0 com densidade rho(x,y,z)=raizx^2+y^2+z^2. Vamos usar o conceito de centro de massa em 3D e aproveitar coordenadas esféricas.

Passo 2

Adotando coordenadas esféricas: rho,varphi,theta com x=rhosinvarphicostheta, y=rhosinvarphisintheta, z=rhocosvarphi e elemento de volume dV=rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta. A massa total é
M=integraltheta=0^2piintegralvarphi=0^pi/2integralrho=0^1l(rhor),rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta

Passo 3

As coordenadas do centro de massa são dadas por
barx=1Mintegral0^2piintegral0^pi/2integral0^1(rhosinvarphicostheta),rho,rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta
bary=1Mintegral0^2piintegral0^pi/2integral0^1(rhosinvarphisintheta),rho,rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta

Passo 4

Por simetria em theta, espera-se barx=bary=0. E finalmente
barz=1Mintegral0^2piintegral0^pi/2integral0^1(rhocosvarphi),rho,rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta

Resposta

M=integral0^2piintegral0^pi/2integral0^1rho,rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta
barx=1Mintegral0^2piintegral0^pi/2integral0^1(rhosinvarphicostheta),rho^3sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta=0
bary=1Mintegral0^2piintegral0^pi/2integral0^1(rhosinvarphisintheta),rho^3sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta=0
barz=1Mintegral0^2piintegral0^pi/2integral0^1(rhocosvarphi),rho^3sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta

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