Expresse a integral integral duplaE f(x, y, z) d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas.
x=2, y=2, z=0, x+y-2 z=2

Passo 1

O sólido E é um tetraedro limitado pelos planos x=2, y=2, z=0 e x+y−2z=2. Para expressar a integral tripla em ordens diferentes, projetamos E nos planos coordenados (xy, xz e yz) e deduzimos os limites em cada caso.

Passo 2

Na projeção em xy temos 0≤x≤2 e 2−x≤y≤2. Para cada (x,y) nessa região, z varia de 0 até (x+y−2)/2. Isso gera duas ordens com z interno: dz dy dx e dz dx dy.

Passo 3

Na projeção em xz temos 0≤x≤2 e 0≤z≤x/2. Para cada (x,z), y varia de 2+2z−x até 2. Isso gera duas ordens com y interno: dy dz dx e dy dx dz.

Passo 4

Na projeção em yz temos 0≤z≤1 e 2z≤y≤2. Para cada (y,z), x varia de 2+2z−y até 2. Isso gera duas ordens com x interno: dx dz dy e dx dy dz.

Resposta

integralx=0^2integraly=2-x^2integralz=0^x+y-22f(x,y,z),dz,dy,dx
integraly=0^2integralx=2-y^2integralz=0^x+y-22f(x,y,z),dz,dx,dy
integralx=0^2integralz=0^x2integraly=2+2z-x^2f(x,y,z),dy,dz,dx
integralz=0^1integralx=2z^2integraly=2+2z-x^2f(x,y,z),dy,dx,dz
integraly=0^2integralz=0^y2integralx=2+2z-y^2f(x,y,z),dx,dz,dy
integralz=0^1integraly=2z^2integralx=2+2z-y^2f(x,y,z),dx,dy,dz

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