Utilizando o método de integração por partes, calcular as seguintes integrais:
integral x ln (3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral xln(3x),dx
Para isso vamos usar o método de integração por partes, que se baseia na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = ln(3x), dv = x,dx,
porque a derivada de ln(3x) simplifica bem e fica fácil integrar x.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = ddxln(3x),dx = 1x,dx, v = integral x,dx = x^22

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes:
integral xln(3x),dx = u,v - integral v,du = x^22ln(3x) - integral x^22cdot1x,dx = x^22ln(3x) - integral x2,dx

Passo 5

Basta integrar o termo restante:
integral x2,dx = 12integral x,dx = 12cdotx^22 = x^24
Assim a primitiva fica
x^22ln(3x) - x^24 + C

Resposta

x^22ln(3x) - x^24 + C

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