[2. pontos] (1) Seja g(t)=f(p(t), q(t), r(t), s(t)). onde f é uma função diferenciável nas v. iáveis x, y, z e w. Calcule g^{\prime}(0), sabendo cue p(0)=2, p^{\prime}(0)=-3, q(0)=1, q^{\prime}(0)=4, r(0)=4, r^{\prime}(0)=2, s(0)=3, s^{\prime}(0)=-1, e:
Ponto (x, y, z, w) f f_{x} f_{y} f_{z} f_{w}
A=(0,0,0,0) -1 2 -1 3 -4
B=(1,2,3,4) 2 -1 2 -1 3
C=(2,1,4,3) -1 2 -1 2 -1
D=(4,3,2,1) 3 -1 2 -1 2
E=(3,4,1,2) -4 3 -1 2 -1

Passo 1

O enunciado define a função composta
g(t)=f\bigl(p(t),q(t),r(t),s(t)\bigr),
onde f é diferenciável em (x,y,z,w).
O que precisamos é aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis e calcular g'(0).

Passo 2

Pela regra da cadeia em várias variáveis, temos
g'(t) = f_x\bigl(p(t),q(t),r(t),s(t)\bigr)\,p'(t) + f_y\bigl(p(t),q(t),r(t),s(t)\bigr)\,q'(t) + f_z\bigl(p(t),q(t),r(t),s(t)\bigr)\,r'(t) + f_w\bigl(p(t),q(t),r(t),s(t)\bigr)\,s'(t).

Passo 3

Em t=0 os valores são
(p(0),q(0),r(0),s(0))=(2,1,4,3),
que corresponde ao ponto C da tabela.
Nesse ponto, os valores das derivadas parciais são
f_x=2,\quad f_y=-1,\quad f_z=2,\quad f_w=-1.

Passo 4

Substituindo em g'(0) e usando p'(0)=-3, q'(0)=4, r'(0)=2, s'(0)=-1, obtemos
g'(0) =2\cdot(-3)+(-1)\cdot4+2\cdot2+(-1)\cdot(-1) =-6-4+4+1 =-5.

Resposta

-5

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