1. \int_{0}^{\pi / 6} \int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{3} \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi d \rho d \theta d \varphi\left(\mathrm{R}: \frac{9 \pi}{4}(2-\sqrt{3})\right)

Passo 1

A questão pede para calcular a integral tripla
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{3} \rho^{2} \sin\varphi \, d\rho \, d\theta \, d\varphi.
O conteúdo envolvido é integração iterada de funções separáveis: como a integranda se separa em fatores que dependem de \rho, \theta e \varphi isoladamente, podemos quebrar a integral em três partes independentes.

Passo 2

Vamos primeiro integrar em \rho. Como não há \theta nem \varphi nessa parte, temos
\int_{0}^{3} \rho^{2} \, d\rho = \left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{3} = \frac{3^{3}}{3} = 9.

Passo 3

Em seguida, integramos em \theta. A integranda é constante em relação a \theta, então
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta = \frac{\pi}{2}.

Passo 4

Agora cuidamos da parte em \varphi:
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin\varphi \, d\varphi = \left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = -\Bigl(\cos\tfrac{\pi}{6} - \cos 0\Bigr) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Basta multiplicar os três resultados:
9 \times \frac{\pi}{2} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2} = \frac{9\pi}{4}\,(2 - \sqrt{3}).

Resposta

\displaystyle \frac{9\pi}{4}\,(2 - \sqrt{3})

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